Để giải bài toán này, ta cần làm theo các bước sau:

### a. Tính \(3A\)

Trước tiên, ta có tổng:
\[ A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 \]

Nhân cả hai vế của phương trình này với 3:
\[ 3A = 3 \cdot (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7) \]

Khi nhân vào, ta được:
\[ 3A = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8 \]

### b. Chứng minh \( A = \frac{3^8 - 1}{2} \)

Bây giờ, ta trừ phương trình \( A \) ban đầu cho phương trình \( 3A \):

\[ 3A - A = (3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7 + 3^8) - (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5 + 3^6 + 3^7) \]

Ta thấy rằng các số hạng từ \( 3 \) đến \( 3^7 \) sẽ bị triệt tiêu, chỉ còn lại:
\[ 3A - A = 3^8 - 1 \]

Do đó:
\[ 2A = 3^8 - 1 \]

Chia cả hai vế cho 2:
\[ A = \frac{3^8 - 1}{2} \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ A = \frac{3^8 - 1}{2} \]