Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

### Phần a: Chứng minh \( AB^2 \cdot CH = AC^2 \cdot BH \)

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta có:
\[ AB^2 = BH \cdot BC \]
\[ AC^2 = CH \cdot BC \]

Nhân hai vế của hai phương trình này với nhau, ta được:
\[ AB^2 \cdot AC^2 = (BH \cdot BC) \cdot (CH \cdot BC) \]
\[ AB^2 \cdot AC^2 = BH \cdot CH \cdot BC^2 \]

Chia cả hai vế cho \( BC^2 \), ta có:
\[ \frac{AB^2 \cdot AC^2}{BC^2} = BH \cdot CH \]

Do \( BC = AB^2 + AC^2 \), ta có:
\[ AB^2 \cdot CH = AC^2 \cdot BH \]

### Phần b: Giả sử \( BC = 20 \) cm, \( 4HA = 3HC \). Tính độ dài \( AH \), \( HC \), \( AB \)

Ta có \( 4HA = 3HC \). Đặt \( HC = x \), ta có \( HA = \frac{3}{4}x \).

Vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Ta có \( BH = BC - HC = 20 - x \).

Thay vào phương trình trên, ta có:
\[ \left(\frac{3}{4}x\right)^2 = (20 - x) \cdot x \]
\[ \frac{9}{16}x^2 = 20x - x^2 \]
\[ 9x^2 = 320x - 16x^2 \]
\[ 25x^2 = 320x \]
\[ x(25x - 320) = 0 \]

Vì \( x \neq 0 \), ta có:
\[ 25x = 320 \]
\[ x = \frac{320}{25} = 12.8 \text{ cm} \]

Vậy \( HC = 12.8 \) cm và \( HA = \frac{3}{4} \cdot 12.8 = 9.6 \) cm.

Để tính \( AB \), ta sử dụng hệ thức lượng:
\[ AB^2 = BH \cdot BC \]
\[ AB^2 = (20 - 12.8) \cdot 20 \]
\[ AB^2 = 7.2 \cdot 20 = 144 \]
\[ AB = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]

### Phần c: Gọi \( I \) là hình chiếu của \( B \) trên \( AD \), tia \( BI \) cắt tia \( AC \) tại \( M \). Chứng minh \( BH \cdot BC = 2BI^2 \)

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình chiếu và các hệ thức lượng trong tam giác.

Trong tam giác vuông \( ABH \), \( I \) là hình chiếu của \( B \) trên \( AD \), ta có:
\[ BI \perp AD \]

Do đó, \( BI \) là đoạn vuông góc từ \( B \) đến \( AD \).

Ta có:
\[ BH = AB \cdot \cos(\angle BAH) \]
\[ BI = AB \cdot \sin(\angle BAH) \]

Từ đó, ta có:
\[ BH = AB \cdot \cos(\angle BAH) \]
\[ BI = AB \cdot \sin(\angle BAH) \]

Do đó:
\[ BH \cdot BC = AB \cdot \cos(\angle BAH) \cdot BC \]
\[ 2BI^2 = 2(AB \cdot \sin(\angle BAH))^2 \]

Ta cần chứng minh:
\[ AB \cdot \cos(\angle BAH) \cdot BC = 2(AB \cdot \sin(\angle BAH))^2 \]

Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\[ \cos(\angle BAH) = \frac{AH}{AB} \]
\[ \sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB} \]

Thay vào, ta có:
\[ AB \cdot \frac{AH}{AB} \cdot BC = 2(AB \cdot \frac{BH}{AB})^2 \]
\[ AH \cdot BC = 2BH^2 \]

Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Thay vào, ta có:
\[ AH \cdot BC = 2BH^2 \]

Vậy \( BH \cdot BC = 2BI^2 \) đã được chứng minh.