Để chứng minh rằng các điểm \( F, K, D \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các định lý liên quan. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Xác định các điểm và đoạn thẳng:**
- \( D \) là điểm trên cạnh \( AC \) sao cho \( AD = AB \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( BD \).
- Tia \( AM \) cắt cạnh \( BC \) tại \( K \).
- Trên tia đối của tia \( BA \), lấy điểm \( F \) sao cho \( BF = DC \).

2. **Sử dụng tính chất trung điểm và đoạn thẳng:**
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BD \), ta có \( BM = MD \).

3. **Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác \( BDC \) với đường thẳng \( AMK \):**
- Định lý Menelaus cho tam giác \( BDC \) với đường thẳng \( AMK \) cho ta:
\[
\frac{BA}{AD} \cdot \frac{DK}{KC} \cdot \frac{CM}{MB} = 1
\]
- Ta biết \( AD = AB \), do đó \( \frac{BA}{AD} = 1 \).

4. **Tính toán các tỉ lệ:**
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BD \), ta có \( \frac{CM}{MB} = 1 \).
- Do đó, phương trình Menelaus trở thành:
\[
1 \cdot \frac{DK}{KC} \cdot 1 = 1 \implies \frac{DK}{KC} = 1 \implies DK = KC
\]
- Điều này có nghĩa là \( K \) là trung điểm của \( DC \).

5. **Sử dụng tính chất đoạn thẳng và điểm đối:**
- Trên tia đối của tia \( BA \), lấy điểm \( F \) sao cho \( BF = DC \).
- Vì \( K \) là trung điểm của \( DC \), ta có \( DK = KC \).

6. **Chứng minh \( F, K, D \) thẳng hàng:**
- Xét tam giác \( BDC \) và điểm \( F \) trên tia đối của tia \( BA \).
- Ta có \( BF = DC \) và \( K \) là trung điểm của \( DC \).
- Do đó, \( F \) nằm trên đường thẳng đi qua \( D \) và \( K \).

Kết luận: Các điểm \( F, K, D \) thẳng hàng.