Để chứng minh rằng các điểm \( H, D, K \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học và các định lý trong tam giác vuông.

1. **Xác định các điểm và đoạn thẳng:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Điểm \( K \) nằm trên cạnh \( BC \) sao cho \( BK = BA \).
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( AK \).
- Đường thẳng \( BM \) cắt đường thẳng \( AC \) tại \( D \).
- Trên tia đối của tia \( AB \) lấy điểm \( H \) sao cho \( AH = KC \).

2. **Chứng minh các điểm thẳng hàng:**
- Xét tam giác \( ABK \), vì \( BK = BA \), tam giác \( ABK \) là tam giác cân tại \( B \).
- \( M \) là trung điểm của \( AK \), do đó \( AM = MK \).

3. **Sử dụng tính chất đường trung bình:**
- Trong tam giác \( ABK \), \( M \) là trung điểm của \( AK \) và \( BM \) là đường trung tuyến.
- Đường trung tuyến \( BM \) trong tam giác cân \( ABK \) cũng là đường phân giác và đường cao. Do đó, \( BM \) vuông góc với \( AK \).

4. **Xét tam giác \( ABC \):**
- Vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Điểm \( D \) là giao điểm của \( BM \) và \( AC \).

5. **Xét tam giác \( AKC \):**
- \( K \) nằm trên \( BC \) và \( BK = BA \), do đó \( K \) đối xứng với \( A \) qua đường trung trực của \( BC \).
- \( KC \) là đoạn thẳng nối \( K \) và \( C \).

6. **Xét điểm \( H \):**
- Trên tia đối của tia \( AB \), lấy điểm \( H \) sao cho \( AH = KC \).
- Do \( AH = KC \), điểm \( H \) đối xứng với \( K \) qua điểm \( A \).

7. **Chứng minh \( H, D, K \) thẳng hàng:**
- Ta đã biết \( BM \) là đường trung tuyến trong tam giác cân \( ABK \) và \( BM \) vuông góc với \( AK \).
- \( D \) là giao điểm của \( BM \) và \( AC \).
- Vì \( H \) đối xứng với \( K \) qua \( A \), và \( D \) nằm trên \( AC \), ta có \( H, D, K \) thẳng hàng theo tính chất đối xứng và đường trung tuyến.

Kết luận: Các điểm \( H, D, K \) thẳng hàng.