Để chứng minh rằng bốn điểm \( B, E, D, C \) cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác \( BEDC \) là tứ giác nội tiếp.

### Phần a:
**Chứng minh:**

1. **Góc \( \angle BEC \) và \( \angle BDC \):**
- Ta có \( BD \) và \( CE \) là các đường cao của tam giác \( \triangle ABC \), do đó \( BD \perp AC \) và \( CE \perp AB \).
- Xét góc \( \angle BEC \):
\[
\angle BEC = 90^\circ - \angle ABE
\]
- Xét góc \( \angle BDC \):
\[
\angle BDC = 90^\circ - \angle ABD
\]
- Do \( \angle ABE = \angle ABD \) (cùng là góc phụ với góc \( \angle BAC \)), ta có:
\[
\angle BEC + \angle BDC = (90^\circ - \angle ABE) + (90^\circ - \angle ABD) = 180^\circ
\]
- Vậy \( \angle BEC + \angle BDC = 180^\circ \), chứng tỏ rằng tứ giác \( BEDC \) là tứ giác nội tiếp.

**Xác định tâm \( O \) của đường tròn:**

- Tâm \( O \) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \( BEDC \) là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tứ giác \( BEDC \).

### Phần b:
**Chứng minh:**

1. **Góc \( \angle ADE \) và \( \angle AHE \):**
- Ta có \( BD \) và \( CE \) là các đường cao của tam giác \( \triangle ABC \), do đó \( BD \perp AC \) và \( CE \perp AB \).
- Xét góc \( \angle ADE \):
\[
\angle ADE = 90^\circ - \angle DAC
\]
- Xét góc \( \angle AHE \):
\[
\angle AHE = 90^\circ - \angle HAE
\]
- Do \( \angle DAC = \angle HAE \) (cùng là góc phụ với góc \( \angle BAC \)), ta có:
\[
\angle ADE + \angle AHE = (90^\circ - \angle DAC) + (90^\circ - \angle HAE) = 180^\circ
\]
- Vậy \( \angle ADE + \angle AHE = 180^\circ \), chứng tỏ rằng tứ giác \( ADHE \) là tứ giác nội tiếp.

**Xác định tâm \( I \) của đường tròn:**

- Tâm \( I \) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \( ADHE \) là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của tứ giác \( ADHE \).

### Phần c:
**Chứng minh:**

1. **So sánh \( BC \) và \( DE \):**
- Trong tam giác nhọn \( \triangle ABC \), \( BC \) là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác.
- \( DE \) là đoạn thẳng nối hai chân của các đường cao \( BD \) và \( CE \), do đó \( DE \) nhỏ hơn cạnh \( BC \).

2. **So sánh \( AH \) và \( DE \):**
- \( AH \) là đường cao từ đỉnh \( A \) của tam giác \( \triangle ABC \).
- \( DE \) là đoạn thẳng nối hai chân của các đường cao \( BD \) và \( CE \), do đó \( DE \) nhỏ hơn \( AH \).

Vậy ta có:
\[
BC > DE \quad \text{và} \quad AH > DE
\]