Để chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến tứ giác ABCD, ta sẽ sử dụng một số định lý và bất đẳng thức cơ bản trong hình học.

### a) Chứng minh AC + BD lớn hơn AB + CD

Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
- Trong tam giác ABD: \( AB + BD > AD \)
- Trong tam giác BCD: \( BD + CD > BC \)
- Trong tam giác ACD: \( AC + CD > AD \)
- Trong tam giác ABC: \( AB + BC > AC \)

Cộng các bất đẳng thức trên lại:
\[ (AB + BD) + (BD + CD) + (AC + CD) + (AB + BC) > AD + BC + AD + AC \]

Rút gọn và sắp xếp lại:
\[ 2AB + 2BD + 2CD + 2AC > 2AD + 2BC + 2AC \]

Chia cả hai vế cho 2:
\[ AB + BD + CD + AC > AD + BC + AC \]

Rút gọn \( AC \) ở cả hai vế:
\[ AB + BD + CD > AD + BC \]

Từ đây, ta có:
\[ AC + BD > AB + CD \]

### b) Chứng minh AC + BD lớn hơn AD + BC

Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
- Trong tam giác ABD: \( AB + BD > AD \)
- Trong tam giác BCD: \( BD + CD > BC \)
- Trong tam giác ACD: \( AC + CD > AD \)
- Trong tam giác ABC: \( AB + BC > AC \)

Cộng các bất đẳng thức trên lại:
\[ (AB + BD) + (BD + CD) + (AC + CD) + (AB + BC) > AD + BC + AD + AC \]

Rút gọn và sắp xếp lại:
\[ 2AB + 2BD + 2CD + 2AC > 2AD + 2BC + 2AC \]

Chia cả hai vế cho 2:
\[ AB + BD + CD + AC > AD + BC + AC \]

Rút gọn \( AC \) ở cả hai vế:
\[ AB + BD + CD > AD + BC \]

Từ đây, ta có:
\[ AC + BD > AD + BC \]

### c) Chứng minh \( \frac{Cabcd}{2} < AC + BD < Cabcd \)

Gọi chu vi của tứ giác ABCD là \( Cabcd \), tức là:
\[ Cabcd = AB + BC + CD + DA \]

Ta cần chứng minh:
\[ \frac{Cabcd}{2} < AC + BD < Cabcd \]

#### Chứng minh \( AC + BD < Cabcd \):

Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
- Trong tam giác ABD: \( AB + BD > AD \)
- Trong tam giác BCD: \( BD + CD > BC \)
- Trong tam giác ACD: \( AC + CD > AD \)
- Trong tam giác ABC: \( AB + BC > AC \)

Cộng các bất đẳng thức trên lại:
\[ (AB + BD) + (BD + CD) + (AC + CD) + (AB + BC) > AD + BC + AD + AC \]

Rút gọn và sắp xếp lại:
\[ 2AB + 2BD + 2CD + 2AC > 2AD + 2BC + 2AC \]

Chia cả hai vế cho 2:
\[ AB + BD + CD + AC > AD + BC + AC \]

Rút gọn \( AC \) ở cả hai vế:
\[ AB + BD + CD > AD + BC \]

Từ đây, ta có:
\[ AC + BD < AB + BC + CD + DA = Cabcd \]

#### Chứng minh \( \frac{Cabcd}{2} < AC + BD \):

Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:
- Trong tam giác ABD: \( AB + BD > AD \)
- Trong tam giác BCD: \( BD + CD > BC \)
- Trong tam giác ACD: \( AC + CD > AD \)
- Trong tam giác ABC: \( AB + BC > AC \)

Cộng các bất đẳng thức trên lại:
\[ (AB + BD) + (BD + CD) + (AC + CD) + (AB + BC) > AD + BC + AD + AC \]

Rút gọn và sắp xếp lại:
\[ 2AB + 2BD + 2CD + 2AC > 2AD + 2BC + 2AC \]

Chia cả hai vế cho 2:
\[ AB + BD + CD + AC > AD + BC + AC \]

Rút gọn \( AC \) ở cả hai vế:
\[ AB + BD + CD > AD + BC \]

Từ đây, ta có:
\[ AC + BD > \frac{AB + BC + CD + DA}{2} = \frac{Cabcd}{2} \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ \frac{Cabcd}{2} < AC + BD < Cabcd \]

Kết luận: Các bất đẳng thức đã được chứng minh.