Để giải hệ phương trình này, ta có hai phương trình:

1) \(0,5x + 2y = 90\)
2) \(\frac{0,5x}{y} = \frac{2y}{x}\)

Trước tiên, ta sẽ giải phương trình thứ hai để tìm mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\).

Phương trình thứ hai:
\[
\frac{0,5x}{y} = \frac{2y}{x}
\]

Nhân chéo lên ta có:
\[
0,5x \cdot x = 2y \cdot y
\]
\[
0,5x^2 = 2y^2
\]
\[
x^2 = 4y^2
\]
\[
x = 2y \quad \text{hoặc} \quad x = -2y
\]

Bây giờ ta sẽ thay \(x = 2y\) và \(x = -2y\) vào phương trình thứ nhất để tìm giá trị của \(y\).

Trường hợp 1: \(x = 2y\)
\[
0,5(2y) + 2y = 90
\]
\[
y + 2y = 90
\]
\[
3y = 90
\]
\[
y = 30
\]
\[
x = 2y = 2 \cdot 30 = 60
\]

Trường hợp 2: \(x = -2y\)
\[
0,5(-2y) + 2y = 90
\]
\[
-y + 2y = 90
\]
\[
y = 90
\]
\[
x = -2y = -2 \cdot 90 = -180
\]

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm:
1) \(x = 60\), \(y = 30\)
2) \(x = -180\), \(y = 90\)