Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. D, E là hình chiếu của H trên AB, AC. Biết AB = 6 cm, BC = 10 cm, tính AH, góc C và các tỉ số lượng giác của góc BAH.

1. **Tính AH:**

Do tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Gọi AC là \( x \), ta có:
\[ 10^2 = 6^2 + x^2 \]
\[ 100 = 36 + x^2 \]
\[ x^2 = 64 \]
\[ x = 8 \]

Vậy AC = 8 cm.

Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]
\[ AH = \frac{6 \cdot 8}{10} \]
\[ AH = \frac{48}{10} \]
\[ AH = 4.8 \text{ cm} \]

2. **Tính góc C:**

Góc C là góc đối diện với cạnh AB trong tam giác vuông ABC. Ta có thể sử dụng tỉ số lượng giác để tính góc C.

\[ \cos C = \frac{AB}{BC} \]
\[ \cos C = \frac{6}{10} \]
\[ \cos C = 0.6 \]

Sử dụng máy tính để tìm góc C:
\[ C = \cos^{-1}(0.6) \approx 53.13^\circ \]

3. **Tính các tỉ số lượng giác của góc BAH:**

Góc BAH là góc giữa đường cao AH và cạnh AB. Ta có thể sử dụng tam giác vuông AHD để tính các tỉ số lượng giác của góc BAH.

Trong tam giác vuông AHD:
\[ \tan BAH = \frac{HD}{AD} \]

Ta biết:
\[ AD = AB - BD \]
\[ BD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \]

Do đó:
\[ AD = 6 - 4.8 = 1.2 \]

Và:
\[ HD = AH = 4.8 \]

Vậy:
\[ \tan BAH = \frac{HD}{AD} = \frac{4.8}{1.2} = 4 \]

Các tỉ số lượng giác khác của góc BAH:
\[ \sin BAH = \frac{HD}{\sqrt{HD^2 + AD^2}} = \frac{4.8}{\sqrt{4.8^2 + 1.2^2}} = \frac{4.8}{\sqrt{23.04 + 1.44}} = \frac{4.8}{\sqrt{24.48}} \approx 0.97 \]

\[ \cos BAH = \frac{AD}{\sqrt{HD^2 + AD^2}} = \frac{1.2}{\sqrt{4.8^2 + 1.2^2}} = \frac{1.2}{\sqrt{24.48}} \approx 0.24 \]

Vậy các tỉ số lượng giác của góc BAH là:
\[ \sin BAH \approx 0.97 \]
\[ \cos BAH \approx 0.24 \]
\[ \tan BAH = 4 \]