Để giải quyết bài toán này, trước tiên ta cần tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) = -x^3 + 3x + 2 \).

1. **Tìm đạo hàm của hàm số:**
\[ f'(x) = -3x^2 + 3 \]

2. **Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \):**
\[ -3x^2 + 3 = 0 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]

3. **Xác định loại cực trị:**
- Với \( x = 1 \):
\[ f''(x) = -6x \]
\[ f''(1) = -6 < 0 \]
=> \( x = 1 \) là điểm cực đại.

- Với \( x = -1 \):
\[ f''(-1) = 6 > 0 \]
=> \( x = -1 \) là điểm cực tiểu.

4. **Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị:**
- \( f(1) = -1^3 + 3 \cdot 1 + 2 = 4 \)
- \( f(-1) = -(-1)^3 + 3 \cdot (-1) + 2 = 0 \)

Vậy, điểm cực đại là \( A(1, 4) \) và điểm cực tiểu là \( B(-1, 0) \).

Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các đáp án:

a) **Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 4):**
- Xét dấu của \( f'(x) = -3x^2 + 3 \) trên khoảng (0; 4):
\[ f'(x) > 0 \text{ khi } -1 < x < 1 \]
=> Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), không đồng biến trên khoảng (0; 4).

b) **Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞):**
- Xét dấu của \( f'(x) = -3x^2 + 3 \) trên khoảng (2; +∞):
\[ f'(x) < 0 \text{ khi } x > 1 \]
=> Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞).

c) **Đoạn thẳng AB có độ dài bằng \( 2\sqrt{5} \):**
- Tính độ dài đoạn thẳng AB:
\[ AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

d) **Diện tích tam giác OAB bằng 4:**
- Tọa độ điểm O là (0, 0).
- Diện tích tam giác OAB:
\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]
\[ S = \frac{1}{2} \left| 1(0 - 0) + (-1)(4 - 0) + 0(0 - 4) \right| = \frac{1}{2} \left| -4 \right| = 2 \]

Vậy đáp án đúng là:
- b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
- c) Đoạn thẳng AB có độ dài bằng \( 2\sqrt{5} \).