Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15%, giả sử thêm vào dung dịch x (gam) muối tinh khiết và được dung dịch có nồng độ y%

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần của câu hỏi:

a) Hàm số y:
- Ban đầu, ta có 200 gam dung dịch muối với nồng độ 15%, tức là có 0.15 * 200 = 30 gam muối.
- Khi thêm x gam muối tinh khiết vào, tổng lượng muối sẽ là 30 + x gam.
- Tổng khối lượng dung dịch sau khi thêm muối là 200 + x gam.
- Nồng độ y% của dung dịch sau khi thêm muối là:
\[ y = \frac{30 + x}{200 + x} \times 100 \]

b) Đạo hàm của hàm số y:
- Ta có hàm số y = \frac{100(x + 30)}{x + 200}.
- Đạo hàm của hàm số y theo x là:
\[ y' = \frac{100(x + 200) - 100(x + 30)}{(x + 200)^2} = \frac{100x + 20000 - 100x - 3000}{(x + 200)^2} = \frac{17000}{(x + 200)^2} \]
- Vì (x + 200)^2 > 0 với mọi x > 0, nên y' > 0 với mọi x > 0. Do đó, đạo hàm của hàm số y luôn nhận giá trị dương trên khoảng (0; +∞).

c) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ dung dịch muối càng tăng:
- Vì đạo hàm của hàm số y luôn dương trên khoảng (0; +∞), nên hàm số y là hàm đồng biến trên khoảng này. Do đó, khi thêm càng nhiều gam muối tinh khiết (x tăng), thì nồng độ dung dịch muối (y) càng tăng.

d) Nồng độ dung dịch muối không thể vượt quá 90%:
- Khi x tiến tới vô cùng, hàm số y tiến tới giới hạn:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{100(x + 30)}{x + 200} = \lim_{x \to \infty} \frac{100 + \frac{3000}{x}}{1 + \frac{200}{x}} = 100 \]
- Do đó, nồng độ dung dịch muối có thể tiến tới 100%, chứ không phải 90%.

Tóm lại:
a) Hàm số y = \frac{100(x + 30)}{x + 200}.
b) Đạo hàm của hàm số y luôn nhận giá trị dương trên khoảng (0; +∞).
c) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ dung dịch muối càng tăng.
d) Nồng độ dung dịch muối có thể vượt quá 90%.