Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác \( AED \) là tam giác cân.

1. **Đặc điểm**: Đường trung tuyến \( BD \) chia cạnh \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau. Tương tự, đường trung tuyến \( CE \) chia cạnh \( AB \) thành hai đoạn bằng nhau.

2. **Cạnh**: Ta có \( AD = AE \) (vì \( D \) và \( E \) là trung điểm của \( AC \) và \( AB \), theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân).

3. **Kết luận**: Từ \( AD = AE \), ta suy ra tam giác \( AED \) là tam giác cân.

### b) Chứng minh tứ giác \( ABCD \) là hình thang.

1. **Căn cứ**: Trong tam giác \( ABC \), do \( AB = AC \) (tam giác cân tại A), kéo theo \( AD \) và \( BC \) là hai cạnh cùng song song với nhau.

2. **Đặc điểm hình học**: Tương ứng với tính chất hình thang, hai cạnh không song song \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh lần lượt của tứ giác \( ABCD \), do đó, \( AB \parallel CD \).

3. **Kết luận**: Vì vậy, tứ giác \( ABCD \) là hình thang.

Tóm lại, thông qua các bằng chứng trên, chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác \( AED \) là tam giác cân và tứ giác \( ABCD \) là hình thang.