Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ giải từng phương trình một và sau đó kết hợp chúng lại để tìm giá trị của \( x \) và \( y \).

Hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
2x + 5y = -(x + y) \\
6x + 3y = y - 10
\end{cases} \]

Bước 1: Giải phương trình thứ nhất:
\[ 2x + 5y = -(x + y) \]

Chuyển vế để đưa tất cả các biến về một phía:
\[ 2x + 5y = -x - y \]

Cộng \( x \) và \( y \) vào cả hai vế:
\[ 2x + x + 5y + y = 0 \]
\[ 3x + 6y = 0 \]

Chia cả hai vế cho 3:
\[ x + 2y = 0 \]
\[ x = -2y \] (1)

Bước 2: Giải phương trình thứ hai:
\[ 6x + 3y = y - 10 \]

Chuyển vế để đưa tất cả các biến về một phía:
\[ 6x + 3y - y = -10 \]
\[ 6x + 2y = -10 \]

Thay giá trị của \( x \) từ phương trình (1) vào:
\[ 6(-2y) + 2y = -10 \]
\[ -12y + 2y = -10 \]
\[ -10y = -10 \]

Chia cả hai vế cho -10:
\[ y = 1 \]

Bước 3: Thay giá trị của \( y \) vào phương trình (1):
\[ x = -2y \]
\[ x = -2(1) \]
\[ x = -2 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = -2 \]
\[ y = 1 \]