Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( f(x) = \frac{mx - 4}{x - m} \) với \( m \) là tham số, ta thực hiện các bước sau:

a) **Tập xác định của hàm số:**

Hàm số \( f(x) \) xác định khi mẫu số khác 0, tức là \( x - m \neq 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{m\} \).

b) **Đạo hàm của hàm số:**

Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số:
\[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \]
với \( u(x) = mx - 4 \) và \( v(x) = x - m \).

Đạo hàm của \( u(x) \) là \( u'(x) = m \) và đạo hàm của \( v(x) \) là \( v'(x) = 1 \).

Áp dụng công thức đạo hàm của phân số:
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]

Thay vào ta có:
\[ f'(x) = \frac{m(x - m) - (mx - 4)}{(x - m)^2} = \frac{mx - m^2 - mx + 4}{(x - m)^2} = \frac{-m^2 + 4}{(x - m)^2} \]

Vậy đạo hàm của hàm số là:
\[ f'(x) = \frac{-m^2 + 4}{(x - m)^2}, \forall x \neq m \]

c) **Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi nào:**

Hàm số đồng biến khi đạo hàm của nó không âm, tức là:
\[ f'(x) \geq 0 \]

Xét dấu của \( f'(x) \):
\[ \frac{-m^2 + 4}{(x - m)^2} \geq 0 \]

Do \( (x - m)^2 \) luôn dương với mọi \( x \neq m \), nên dấu của \( f'(x) \) phụ thuộc vào tử số \( -m^2 + 4 \).

Để \( f'(x) \geq 0 \), ta cần:
\[ -m^2 + 4 \geq 0 \]
\[ 4 \geq m^2 \]
\[ -2 \leq m \leq 2 \]

Vậy hàm số \( f(x) \) đồng biến trên từng khoảng xác định khi \( -2 \leq m \leq 2 \).

d) **Có 3 giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \):**

Từ điều kiện \( -2 \leq m \leq 2 \), các giá trị nguyên của \( m \) là \( -2, -1, 0, 1, 2 \).

Để hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \), ta cần xét các giá trị \( m \) trong khoảng này. Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng này là \( -2, -1 \).

Tuy nhiên, để hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \), ta cần xét thêm điều kiện \( f'(x) \geq 0 \) trên khoảng này. Ta thấy rằng các giá trị \( m = -2, -1, 0 \) đều thỏa mãn điều kiện này.

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \) là \( -2, -1, 0 \).