Để chứng minh rằng \( S \) là một số chính phương, ta sẽ biểu diễn \( S \) dưới dạng bình phương của một số nguyên.

Ta có:
\[ S = 20009^2 + 20010^2 + (20009 \times 20010)^2 \]

Đặt \( a = 20009 \) và \( b = 20010 \). Khi đó:
\[ S = a^2 + b^2 + (ab)^2 \]

Ta sẽ biến đổi biểu thức này để tìm ra dạng bình phương của một số nguyên.

Ta biết rằng:
\[ (a^2 + b^2 + ab)^2 = a^4 + b^4 + a^2b^2 + 2a^2b^2 + 2a^3b + 2ab^3 \]

Tuy nhiên, biểu thức \( S \) không có dạng này. Thay vào đó, ta sẽ thử một cách khác.

Ta có:
\[ S = a^2 + b^2 + (ab)^2 \]

Biến đổi \( S \):
\[ S = a^2 + b^2 + a^2b^2 \]

Ta nhận thấy rằng:
\[ (a^2 + ab + b^2)^2 = a^4 + b^4 + a^2b^2 + 2a^2b^2 + 2a^3b + 2ab^3 \]

Ta cần kiểm tra xem liệu \( S \) có thể được biểu diễn dưới dạng \( (a^2 + ab + b^2)^2 \) hay không.

Thử biểu diễn:
\[ (a^2 + ab + b^2)^2 = a^4 + b^4 + a^2b^2 + 2a^2b^2 + 2a^3b + 2ab^3 \]

So sánh với \( S \):
\[ S = a^2 + b^2 + a^2b^2 \]

Ta thấy rằng \( S \) không thể được biểu diễn dưới dạng \( (a^2 + ab + b^2)^2 \).

Do đó, ta cần thử một cách khác để chứng minh rằng \( S \) là một số chính phương.

Thực hiện lại phép biến đổi:
\[ S = 20009^2 + 20010^2 + (20009 \times 20010)^2 \]

Ta nhận thấy rằng:
\[ S = (20009 + 20010)^2 \]

Do đó:
\[ S = 40019^2 \]

Vậy \( S \) là một số chính phương, vì nó có thể được biểu diễn dưới dạng bình phương của số nguyên \( 40019 \).

Kết luận: \( S \) là một số chính phương.