Để tìm giá trị của \(a\) và \(b\) biết hệ phương trình có nghiệm \((2; -1)\), ta thay \(x = 2\) và \(y = -1\) vào hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
ax - 2y = b \\
2x - by = -2a
\end{cases}
\]

Thay \(x = 2\) và \(y = -1\) vào phương trình đầu tiên:

\[
a(2) - 2(-1) = b \\
2a + 2 = b \\
b = 2a + 2
\]

Thay \(x = 2\) và \(y = -1\) vào phương trình thứ hai:

\[
2(2) - b(-1) = -2a \\
4 + b = -2a \\
b = -2a - 4
\]

Ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
b = 2a + 2 \\
b = -2a - 4
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng cách đặt hai phương trình bằng nhau:

\[
2a + 2 = -2a - 4 \\
4a = -6 \\
a = -\frac{3}{2}
\]

Thay \(a = -\frac{3}{2}\) vào phương trình \(b = 2a + 2\):

\[
b = 2\left(-\frac{3}{2}\right) + 2 \\
b = -3 + 2 \\
b = -1
\]

Vậy, \(a = -\frac{3}{2}\) và \(b = -1\).