Để tìm số tự nhiên \( x \) thỏa mãn các điều kiện sau:
- \( x \) chia cho 4 dư 3
- \( x \) chia cho 5 dư 4
- \( x \) chia cho 6 dư 5
- \( x \) nằm trong khoảng từ 200 đến 400

Ta có thể biểu diễn các điều kiện dưới dạng phương trình đồng dư:
1. \( x \equiv 3 \pmod{4} \)
2. \( x \equiv 4 \pmod{5} \)
3. \( x \equiv 5 \pmod{6} \)

Nhận thấy rằng các số dư đều là 1 đơn vị nhỏ hơn số chia, ta có thể viết lại các phương trình đồng dư như sau:
1. \( x + 1 \equiv 0 \pmod{4} \)
2. \( x + 1 \equiv 0 \pmod{5} \)
3. \( x + 1 \equiv 0 \pmod{6} \)

Điều này có nghĩa là \( x + 1 \) phải là bội số chung của 4, 5 và 6. Bội số chung nhỏ nhất của 4, 5 và 6 là:
\[ \text{BCNN}(4, 5, 6) = 60 \]

Do đó, ta có thể viết:
\[ x + 1 = 60k \]
\[ x = 60k - 1 \]

Vì \( x \) nằm trong khoảng từ 200 đến 400, ta có:
\[ 200 \leq 60k - 1 \leq 400 \]
\[ 201 \leq 60k \leq 401 \]
\[ \frac{201}{60} \leq k \leq \frac{401}{60} \]
\[ 3.35 \leq k \leq 6.68 \]

Vì \( k \) là số nguyên, nên \( k \) có thể là 4, 5 hoặc 6.

- Với \( k = 4 \):
\[ x = 60 \times 4 - 1 = 239 \]

- Với \( k = 5 \):
\[ x = 60 \times 5 - 1 = 299 \]

- Với \( k = 6 \):
\[ x = 60 \times 6 - 1 = 359 \]

Vậy các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện là 239, 299 và 359.