Cho tứ giác ABCD có AB = 9, BC = 12, CD = 13, DA= 14 và AC = 15. Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc của B, D trên AC. Tính PQ

Để tính độ dài đoạn thẳng \(PQ\), ta cần sử dụng các tính chất hình học của tứ giác và tam giác.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử \(A\) tại gốc tọa độ \(A(0,0)\).
- \(C\) tại \(C(15,0)\).

2. **Tính tọa độ điểm \(B\) và \(D\):**
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác \(ABC\):
\[
AB^2 + BC^2 = AC^2 \Rightarrow 9^2 + BC^2 = 15^2 \Rightarrow 81 + BC^2 = 225 \Rightarrow BC^2 = 144 \Rightarrow BC = 12
\]
Giả sử \(B\) có tọa độ \((x_B, y_B)\), ta có:
\[
x_B^2 + y_B^2 = 81 \quad \text{và} \quad (x_B - 15)^2 + y_B^2 = 144
\]
Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ \(B\).

- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác \(ACD\):
\[
AD^2 + CD^2 = AC^2 \Rightarrow 14^2 + CD^2 = 15^2 \Rightarrow 196 + CD^2 = 225 \Rightarrow CD^2 = 29 \Rightarrow CD = \sqrt{29}
\]
Giả sử \(D\) có tọa độ \((x_D, y_D)\), ta có:
\[
x_D^2 + y_D^2 = 196 \quad \text{và} \quad (x_D - 15)^2 + y_D^2 = 169
\]
Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ \(D\).

3. **Tính tọa độ điểm \(P\) và \(Q\):**
- \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(AC\), nên \(P\) có tọa độ \((x_P, 0)\).
- \(Q\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) lên \(AC\), nên \(Q\) có tọa độ \((x_Q, 0)\).

4. **Tính độ dài đoạn thẳng \(PQ\):**
- Độ dài đoạn thẳng \(PQ\) là:
\[
PQ = |x_P - x_Q|
\]

Tuy nhiên, để đơn giản hóa bài toán, ta có thể sử dụng công thức tính trực tiếp độ dài đoạn thẳng nối hai hình chiếu vuông góc từ hai điểm lên một đường thẳng:

\[
PQ = \frac{|AB^2 - AD^2 + CD^2 - BC^2|}{2AC}
\]

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

\[
PQ = \frac{|9^2 - 14^2 + 13^2 - 12^2|}{2 \times 15} = \frac{|81 - 196 + 169 - 144|}{30} = \frac{|81 - 196 + 169 - 144|}{30} = \frac{|90 - 340|}{30} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}
\]

Vậy độ dài đoạn thẳng \(PQ\) là \(\frac{5}{3}\).