Để chứng minh các đẳng thức trong tứ diện \(ABCD\), ta sẽ sử dụng tính chất của các vectơ.

a) Chứng minh rằng \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \).

Ta có:
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} \]
\[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} \]

Cộng hai phương trình trên:
\[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) \]

Do \( \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} \), ta có:
\[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \]

b) Chứng minh rằng \( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC} \).

Ta có:
\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} \]
\[ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} \]

Do đó:
\[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DB} \]
\[ \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB} \]

Vậy:
\[ \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{BC} \]

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai đẳng thức.