Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và các định lý liên quan. Hãy bắt đầu từng bước một:

**1) Chứng minh tam giác \( \triangle APC \) bằng tam giác \( \triangle BMD \):**

- Ta có \( AC = BD \) (theo giả thiết).
- Ta có \( AP = MB \) (theo giả thiết).
- Xét hai tam giác \( \triangle APC \) và \( \triangle BMD \):
- \( AC = BD \) (theo giả thiết).
- \( AP = MB \) (theo giả thiết).
- Góc \( \angle PAC = \angle MBD \) (vì \( \angle PAC \) và \( \angle MBD \) là các góc đối đỉnh).

Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[ \triangle APC \cong \triangle BMD \]

**2) Tam giác CMP là tam giác gì?**

- Từ kết quả trên, ta có \( \triangle APC \cong \triangle BMD \), do đó:
- \( PC = MD \)
- \( \angle APC = \angle BMD \)

- Xét tam giác \( \triangle CMP \):
- Ta có \( AP = MB \) (theo giả thiết).
- Ta có \( PC = MD \) (từ kết quả trên).

Do đó, tam giác \( \triangle CMP \) có hai cạnh bằng nhau \( PC = MD \) và \( AP = MB \). Vì vậy, tam giác \( \triangle CMP \) là tam giác cân tại \( M \).

**3) Chứng minh M là trung điểm của CD:**

- Từ kết quả \( \triangle APC \cong \triangle BMD \), ta có:
- \( AC = BD \)
- \( AP = MB \)
- \( PC = MD \)

- Xét đoạn thẳng \( CD \):
- Ta có \( C \) nằm trên \( OA \) và \( D \) nằm trên tia đối của \( BO \).
- Ta có \( M \) là giao điểm của \( CD \) và \( AB \).

- Vì \( \triangle APC \cong \triangle BMD \), ta có:
- \( \angle ACM = \angle BDM \)
- \( AC = BD \)

- Do đó, \( M \) chia đoạn \( CD \) thành hai đoạn bằng nhau:
- \( CM = MD \)

Vậy, \( M \) là trung điểm của \( CD \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được:
1. \( \triangle APC \cong \triangle BMD \).
2. Tam giác \( CMP \) là tam giác cân tại \( M \).
3. \( M \) là trung điểm của \( CD \).