Để rút gọn các biểu thức sau, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:

a) \( A = \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \tan^2 \alpha \)

Ta biết rằng \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), do đó \(\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\).

Thay vào biểu thức \(A\):

\[ A = \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha + \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \left(1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \cdot \sec^2 \alpha = \sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha \]

Vậy \( A = \tan^2 \alpha \).

b) \( B = \frac{2 \sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha} \)

Ta biết rằng \(2 \sin^2 \alpha - 1 = -\cos 2\alpha\) và \(\sin^2 \alpha - \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha (\sin \alpha - \cos \alpha)\).

Thay vào biểu thức \(B\):

\[ B = \frac{-\cos 2\alpha}{\sin \alpha (\sin \alpha - \cos \alpha)} \]

c) \( C = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha \)

Ta biết rằng \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

Thay vào biểu thức \(C\):

\[ C = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha (\sin^2 \alpha + 1) + \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha (1) + \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^4 \alpha \]

d) \( D = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} \)

Ta biết rằng \(1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\).

Thay vào biểu thức \(D\):

\[ D = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} = \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{\sin^2 \alpha (1 + \cos \alpha)} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} = \frac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha (1 + \cos \alpha)} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha (1 + \cos \alpha)} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} = \frac{1}{1 + \cos \alpha} - \frac{1}{1 + \cos \alpha} = 0 \]

Vậy \( D = 0 \).