Chứng minh D thuộc đường thẳng HC? Chứng minh DI = DK

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất hình học của tam giác vuông và các đường cao, đường trung trực.

### a. Chứng minh D thuộc đường thẳng HC

1. **Xét tam giác vuông ABC tại A:**
- Đường cao AH vuông góc với BC tại H.

2. **Xét điểm D trên BH sao cho HD = HB:**
- Vì HD = HB, nên D là trung điểm của đoạn thẳng BH.

3. **Xét tam giác vuông AHB tại H:**
- Vì D là trung điểm của BH, nên D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BH.
- Đường trung trực của BH cũng là đường cao từ H của tam giác vuông AHB.

4. **Xét tam giác vuông AHC tại H:**
- Đường cao AH cũng là đường trung trực của BC vì tam giác ABC vuông tại A.
- Do đó, D nằm trên đường trung trực của BC.

5. **Kết luận:**
- Vì D nằm trên đường trung trực của BC và H cũng nằm trên đường trung trực của BC, nên D thuộc đường thẳng HC.

### b. Chứng minh DI = DK

1. **Kẻ DI vuông góc với AC và CK vuông góc với AD:**
- DI vuông góc với AC tại I.
- CK vuông góc với AD tại K.

2. **Xét tam giác vuông ADI và tam giác vuông ADK:**
- DI vuông góc với AC tại I.
- CK vuông góc với AD tại K.

3. **Xét tam giác ADH:**
- Vì D là trung điểm của BH, nên AD = DH.
- Do đó, tam giác ADH là tam giác cân tại D.

4. **Xét tam giác vuông ADI và tam giác vuông ADK:**
- DI vuông góc với AC tại I.
- CK vuông góc với AD tại K.
- AD là cạnh chung của hai tam giác vuông ADI và ADK.

5. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông ADI và ADK, ta có:
- \( \angle ADI = \angle ADK = 90^\circ \)
- AD là cạnh chung.

6. **Kết luận:**
- Hai tam giác vuông ADI và ADK có hai cạnh tương ứng bằng nhau và một góc vuông bằng nhau.
- Do đó, hai tam giác vuông ADI và ADK bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).
- Suy ra, DI = DK.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng D thuộc đường thẳng HC và DI = DK.