Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các định lý lượng giác trong tam giác vuông và các tính chất của tam giác vuông.

Tam giác ABC vuông tại A, có góc ABC = 60° và AC = 4 cm.

1. Tính độ dài các cạnh AB và BC:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[
\tan(ABC) = \frac{AC}{AB}
\]
\[
\tan(60°) = \sqrt{3}
\]
\[
\sqrt{3} = \frac{4}{AB} \Rightarrow AB = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}
\]

- Sử dụng định lý Pythagore để tính BC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 + 4^2
\]
\[
BC^2 = \frac{48}{9} + 16 = \frac{48}{9} + \frac{144}{9} = \frac{192}{9} = \frac{64}{3}
\]
\[
BC = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}
\]

2. Xét các ý a), b), c), d):

a) \(\cos(ABC) = \frac{AB}{BC}\):
\[
\cos(60°) = \frac{1}{2}
\]
\[
\cos(ABC) = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{8\sqrt{3}}{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{2}
\]
=> Đúng.

b) \(\frac{AH}{BH} = \frac{\sqrt{3}}{3}\):
\[
\tan(30°) = \frac{AH}{BH}
\]
\[
\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
\[
\frac{AH}{BH} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
\]
=> Đúng.

c) \(\cos(C) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[
\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
=> Đúng.

d) Độ dài cạnh AH bằng \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) (cm):
\[
AH = AC \cdot \sin(30°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \text{ cm}
\]
=> Sai.

Kết luận:
- a) Đúng.
- b) Đúng.
- c) Đúng.
- d) Sai.