Để xác định các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) trong phương trình \((2x - 3)(3x + b) = ax^2 + x + c\), chúng ta cần phân tích và so sánh các hệ số của các hạng tử tương ứng sau khi khai triển biểu thức bên trái.

Bắt đầu bằng cách khai triển biểu thức \((2x - 3)(3x + b)\):

\[
(2x - 3)(3x + b) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot b - 3 \cdot 3x - 3 \cdot b
\]

\[
= 6x^2 + 2bx - 9x - 3b
\]

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử cùng bậc lại:

\[
= 6x^2 + (2b - 9)x - 3b
\]

So sánh với biểu thức \(ax^2 + x + c\), ta có:

\[
6x^2 + (2b - 9)x - 3b = ax^2 + x + c
\]

Từ đây, ta có thể xác định các hệ số bằng cách so sánh các hạng tử tương ứng:

1. Hệ số của \(x^2\):

\[
a = 6
\]

2. Hệ số của \(x\):

\[
2b - 9 = 1
\]

Giải phương trình này để tìm \(b\):

\[
2b - 9 = 1
\]

\[
2b = 10
\]

\[
b = 5
\]

3. Hệ số tự do:

\[
-3b = c
\]

Thay \(b = 5\) vào:

\[
-3 \cdot 5 = c
\]

\[
c = -15
\]

Vậy, các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) là:

\[
a = 6, \quad b = 5, \quad c = -15
\]