Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) thuộc tập hợp số tự nhiên \( \mathbb{N} \) sao cho các điều kiện đã cho được thỏa mãn.

a) \( x + 1 \in U(5) \)

Tập hợp \( U(5) \) là tập hợp các số nguyên tố cùng nhau với 5 trong khoảng từ 1 đến 4. Các số đó là 1, 2, 3, và 4.

Do đó:
\[ x + 1 \in \{1, 2, 3, 4\} \]

Từ đó ta có các giá trị của \( x \):
\[ x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0 \]
\[ x + 1 = 2 \Rightarrow x = 1 \]
\[ x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2 \]
\[ x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3 \]

Vậy các giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện a) là:
\[ x = 0, 1, 2, 3 \]

b) \( 4x - 1 \in U(15) \)

Tập hợp \( U(15) \) là tập hợp các số nguyên tố cùng nhau với 15 trong khoảng từ 1 đến 14. Các số đó là 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, và 14.

Do đó:
\[ 4x - 1 \in \{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\} \]

Từ đó ta có các giá trị của \( x \):
\[ 4x - 1 = 1 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{4} = 0.5 \] (không thuộc \( \mathbb{N} \))
\[ 4x - 1 = 2 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4} = 0.75 \] (không thuộc \( \mathbb{N} \))
\[ 4x - 1 = 4 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{4} = 1.25 \] (không thuộc \( \mathbb{N} \))
\[ 4x - 1 = 7 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \]
\[ 4x - 1 = 8 \Rightarrow 4x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{4} = 2.25 \] (không thuộc \( \mathbb{N} \))
\[ 4x - 1 = 11 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3 \]
\[ 4x - 1 = 13 \Rightarrow 4x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{4} = 3.5 \] (không thuộc \( \mathbb{N} \))
\[ 4x - 1 = 14 \Rightarrow 4x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{4} = 3.75 \] (không thuộc \( \mathbb{N} \))

Vậy các giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện b) là:
\[ x = 2, 3 \]

Kết hợp cả hai điều kiện a) và b), ta có các giá trị của \( x \) thỏa mãn cả hai điều kiện là:
\[ x = 2, 3 \]