Gọi số chi tiết máy mà tổ I sản xuất trong tháng thứ nhất là \( x \) và số chi tiết máy mà tổ II sản xuất trong tháng thứ nhất là \( y \).

Theo đề bài, ta có phương trình:
\[ x + y = 900 \]

Tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15% so với tháng thứ nhất, tức là tổ I sản xuất được:
\[ x + 0.15x = 1.15x \]

Tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, tức là tổ II sản xuất được:
\[ y + 0.1y = 1.1y \]

Tổng số chi tiết máy mà hai tổ sản xuất trong tháng thứ hai là 1010 chi tiết máy, do đó ta có phương trình:
\[ 1.15x + 1.1y = 1010 \]

Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 900 \\
1.15x + 1.1y = 1010
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này, ta nhân phương trình thứ nhất với 1.1:
\[ 1.1x + 1.1y = 990 \]

Trừ phương trình này khỏi phương trình thứ hai:
\[ 1.15x + 1.1y - (1.1x + 1.1y) = 1010 - 990 \]
\[ 0.05x = 20 \]
\[ x = \frac{20}{0.05} = 400 \]

Thay \( x = 400 \) vào phương trình \( x + y = 900 \):
\[ 400 + y = 900 \]
\[ y = 900 - 400 = 500 \]

Vậy số chi tiết máy mà tổ I sản xuất trong tháng thứ nhất là 400 chi tiết và tổ II sản xuất là 500 chi tiết.