Chứng minh nếu các số nguyên m,n nguyên tố cùng nhau thì tồn tại số tự nhiên k sao cho m^k-1 chia hết cho n

Để chứng minh rằng nếu các số nguyên \( m \) và \( n \) nguyên tố cùng nhau thì tồn tại số tự nhiên \( k \) sao cho \( m^k - 1 \) chia hết cho \( n \), ta có thể sử dụng định lý Euler.

### Định lý Euler:
Nếu \( a \) và \( n \) là hai số nguyên tố cùng nhau, thì:
\[ a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]
trong đó \( \phi(n) \) là hàm phi Euler, đếm số các số nguyên dương nhỏ hơn \( n \) và nguyên tố cùng nhau với \( n \).

### Chứng minh:
Giả sử \( m \) và \( n \) là hai số nguyên tố cùng nhau, tức là \( \gcd(m, n) = 1 \).

1. **Sử dụng định lý Euler:**
Theo định lý Euler, vì \( m \) và \( n \) nguyên tố cùng nhau, ta có:
\[ m^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]
Điều này có nghĩa là:
\[ n \mid (m^{\phi(n)} - 1) \]
tức là \( m^{\phi(n)} - 1 \) chia hết cho \( n \).

2. **Tồn tại số tự nhiên \( k \):**
Đặt \( k = \phi(n) \), ta có:
\[ m^k - 1 = m^{\phi(n)} - 1 \]
Theo định lý Euler, \( m^{\phi(n)} - 1 \) chia hết cho \( n \), do đó:
\[ n \mid (m^k - 1) \]

Vậy, tồn tại số tự nhiên \( k = \phi(n) \) sao cho \( m^k - 1 \) chia hết cho \( n \).

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng nếu \( m \) và \( n \) là hai số nguyên tố cùng nhau, thì tồn tại số tự nhiên \( k \) (cụ thể là \( k = \phi(n) \)) sao cho \( m^k - 1 \) chia hết cho \( n \).