Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tung độ của điểm A:**

Điểm A nằm trên đồ thị hàm số \( y = 2x - 3 \) và có hoành độ bằng \(-1\). Để tìm tung độ của điểm A, chúng ta thay \( x = -1 \) vào phương trình hàm số:

\[ y = 2(-1) - 3 \]
\[ y = -2 - 3 \]
\[ y = -5 \]

Vậy tung độ của điểm A là \(-5\). Điểm A có tọa độ là \((-1, -5)\).

2. **Tìm giá trị của \( m \):**

Biết rằng đồ thị hàm số \( y = (2m - 1)x + m + 1 \) đi qua điểm A \((-1, -5)\). Thay tọa độ của điểm A vào phương trình hàm số:

\[ -5 = (2m - 1)(-1) + m + 1 \]
\[ -5 = -2m + 1 + m + 1 \]
\[ -5 = -m + 2 \]

Giải phương trình này để tìm \( m \):

\[ -5 - 2 = -m \]
\[ -7 = -m \]
\[ m = 7 \]

Vậy giá trị của \( m \) là \( 7 \).