Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức ban đầu là:
\[ P = \frac{1}{x-2} - \frac{x^2 + 8}{x^3 - 8} + \frac{4}{x^2 + 2x + 4} \]

Trước tiên, chúng ta cần phân tích các mẫu số:

1. \( x^3 - 8 \) có thể được viết lại dưới dạng \( (x-2)(x^2 + 2x + 4) \) (theo công thức hiệu của hai lập phương).
2. \( x^2 + 2x + 4 \) là một đa thức bậc hai không thể phân tích thêm.

Do đó, biểu thức trở thành:
\[ P = \frac{1}{x-2} - \frac{x^2 + 8}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{4}{x^2 + 2x + 4} \]

Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số:
\[ P = \frac{(x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} - \frac{x^2 + 8}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} + \frac{4(x-2)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} \]

Gộp các phân số lại:
\[ P = \frac{(x^2 + 2x + 4) - (x^2 + 8) + 4(x-2)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} \]

Rút gọn tử số:
\[ P = \frac{x^2 + 2x + 4 - x^2 - 8 + 4x - 8}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} \]
\[ P = \frac{6x - 12}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} \]
\[ P = \frac{6(x - 2)}{(x-2)(x^2 + 2x + 4)} \]

Rút gọn \( x-2 \) ở tử và mẫu:
\[ P = \frac{6}{x^2 + 2x + 4} \]

### b) Tính giá trị của biểu thức \( P \) biết \( 2x^2 + x - 6 = 0 \)

Giải phương trình \( 2x^2 + x - 6 = 0 \):
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1 + 48 = 49 \]
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{4} \]
\[ x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-8}{4} = -2 \]

Với \( x = \frac{3}{2} \):
\[ P = \frac{6}{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{3}{2}\right) + 4} = \frac{6}{\frac{9}{4} + 3 + 4} = \frac{6}{\frac{9}{4} + \frac{12}{4} + \frac{16}{4}} = \frac{6}{\frac{37}{4}} = \frac{6 \cdot 4}{37} = \frac{24}{37} \]

Với \( x = -2 \):
\[ P = \frac{6}{(-2)^2 + 2(-2) + 4} = \frac{6}{4 - 4 + 4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

### c) So sánh \( P \) với 0

Với \( x = \frac{3}{2} \):
\[ P = \frac{24}{37} > 0 \]

Với \( x = -2 \):
\[ P = \frac{3}{2} > 0 \]

Vậy, trong cả hai trường hợp, \( P \) đều lớn hơn 0.