Để rút gọn các biểu thức trong bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước đổi dấu ở mẫu số và sau đó thực hiện các phép tính cần thiết. Dưới đây là các bước chi tiết:

### Biểu thức A:
\[ A = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} - \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - 1 \]
Với \( x > 0, x \neq 1 \).

1. Đổi dấu ở mẫu số:
\[ \frac{1}{1 - \sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x} - 1} \]

2. Thay vào biểu thức:
\[ A = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - 1 \]

3. Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1 + x - \sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \]

4. Thay vào biểu thức:
\[ A = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - 1 \]

5. Rút gọn:
\[ A = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)^2} - 1 \]

### Biểu thức B:
\[ B = \left( \frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{2} \]
Với \( x > 0; x \neq 1 \).

1. Đổi dấu ở mẫu số:
\[ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = -\frac{1}{1 - \sqrt{x}} \]

2. Thay vào biểu thức:
\[ B = \left( \frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{2} \]

### Biểu thức C:
\[ C = \left( \frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x - 1}{2x + \sqrt{x} - 1} \]
Với \( x \ge 0; x \neq 1 \) và \( x \neq \frac{1}{4} \).

1. Đổi dấu ở mẫu số:
\[ \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} \]

2. Thay vào biểu thức:
\[ C = \left( \frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{x - 1}{2x + \sqrt{x} - 1} \]

### Biểu thức D:
\[ D = \frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{2 \sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} \cdot \frac{3(3 \sqrt{x} - 5)}{x - 2 \sqrt{x} - 3} \]
ĐKXD: \( x \ge 0; x \neq 9 \).

1. Đổi dấu ở mẫu số:
\[ \frac{2 \sqrt{x} - 3}{3 - \sqrt{x}} = -\frac{2 \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3} \]

2. Thay vào biểu thức:
\[ D = \frac{3 \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} \cdot -\frac{2 \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{3(3 \sqrt{x} - 5)}{x - 2 \sqrt{x} - 3} \]

### Biểu thức E:
\[ E = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{5 \sqrt{x} + 2}{4 - x} \right) \cdot \frac{3 \sqrt{x} - x}{x + 4 \sqrt{x} + 4} \]
ĐKXD: \( x > 0; x \neq 4; x \neq 9 \).

1. Đổi dấu ở mẫu số:
\[ \frac{5 \sqrt{x} + 2}{4 - x} = -\frac{5 \sqrt{x} + 2}{x - 4} \]

2. Thay vào biểu thức:
\[ E = \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{5 \sqrt{x} + 2}{x - 4} \right) \cdot \frac{3 \sqrt{x} - x}{x + 4 \sqrt{x} + 4} \]

Sau khi đổi dấu ở mẫu số, chúng ta tiếp tục thực hiện các phép tính cần thiết để rút gọn các biểu thức.