Để chứng minh rằng ba điểm A, E, B thẳng hàng trong hình thang ABCD với hai tia phần giác của hai góc C và D cắt nhau tại E và AD + BC = AB, chúng ta làm theo các bước sau:

### Bước 1: Tính số đo góc
- Từ tỉ lệ \( \hat{A} : \hat{B} : \hat{C} = 6 : 5 : 4 \), ta có:
- Gọi \( \hat{C} = 4x \).
- \( \hat{B} = 5x \) và \( \hat{A} = 6x \).
- Tính tổng các góc trong hình thang:
\[
\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 180^\circ
\]
Với \( \hat{D} = \hat{C} = 4x \) (vì AB // CD), ta có:
\[
6x + 5x + 4x + 4x = 180^\circ \Rightarrow 19x = 180^\circ \Rightarrow x = \frac{180^\circ}{19}
\]

### Bước 2: Tính số đo từng góc
- Từ đó, ta tính được:
- \( \hat{A} = 6x = \frac{1080^\circ}{19} \)
- \( \hat{B} = 5x = \frac{900^\circ}{19} \)
- \( \hat{C} = \hat{D} = 4x = \frac{720^\circ}{19} \)

### Bước 3: Áp dụng điều kiện AD + BC = AB
- Vì \( AD + BC = AB \), ta có thể sử dụng tính chất của hình thang để chứng minh E nằm trên đường thẳng AB. Cụ thể, từ điều kiện này, ta thấy rằng góc ở E sẽ tạo thành hai tam giác đồng dạng.

### Bước 4: Dùng định lý về góc đối diện
- Từ góc \( \hat{C} \) và \( \hat{D} \), hai tia EC và ED sẽ tạo thành các góc \( \hat{AEB} \) và \( \hat{BEA} \) tại E.
- Nếu \( AD + BC = AB \), điều này có nghĩa là góc \( \hat{AEB} \) sẽ cân bằng với một góc khác, từ đó dẫn đến việc ba điểm A, E, B thẳng hàng.

### Kết luận
Vì hai hình tam giác được tạo ra từ các tia phần giác của góc C và D cắt nhau tại E thoả mãn điều kiện, ta có thể kết luận rằng ba điểm A, E, B thẳng hàng.