Để giải phương trình \( |2x - 1| + 1 = 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Trừ 1 từ cả hai vế của phương trình:
\[
|2x - 1| + 1 - 1 = 4 - 1
\]
\[
|2x - 1| = 3
\]

2. Giải phương trình tuyệt đối \( |2x - 1| = 3 \). Điều này có nghĩa là:
\[
2x - 1 = 3 \quad \text{hoặc} \quad 2x - 1 = -3
\]

3. Giải từng phương trình con:

- Với \( 2x - 1 = 3 \):
\[
2x = 3 + 1
\]
\[
2x = 4
\]
\[
x = 2
\]

- Với \( 2x - 1 = -3 \):
\[
2x = -3 + 1
\]
\[
2x = -2
\]
\[
x = -1
\]

Vậy, nghiệm của phương trình là \( x = 2 \) và \( x = -1 \).