Để so sánh các số hữu tỉ trong bài 3, ta có thể quy đồng mẫu số hoặc so sánh trực tiếp nếu có thể. Dưới đây là cách so sánh nhanh nhất cho từng câu:

**Bài 3: So sánh các số hữu tỉ sau bằng cách nhanh nhất:**

a) \(\frac{-1}{200}\) và \(\frac{1}{2000}\)

- Quy đồng mẫu số: \(\frac{-1}{200} = \frac{-10}{2000}\)
- So sánh: \(\frac{-10}{2000} < \frac{1}{2000}\)

Vậy: \(\frac{-1}{200} < \frac{1}{2000}\)

b) \(\frac{2022}{-2023}\) và \(\frac{-4567}{4565}\)

- Quy đồng mẫu số: \(\frac{2022}{-2023} = -\frac{2022}{2023}\)
- So sánh: \(\frac{-2022}{2023}\) và \(\frac{-4567}{4565}\)
- Vì \(\frac{2022}{2023} < 1\) và \(\frac{4567}{4565} > 1\), nên \(\frac{-2022}{2023} > \frac{-4567}{4565}\)

Vậy: \(\frac{2022}{-2023} > \frac{-4567}{4565}\)

c) \(\frac{11}{-56}\) và \(\frac{-25}{124}\)

- Quy đồng mẫu số: \(\frac{11}{-56} = -\frac{11}{56}\)
- So sánh: \(\frac{-11}{56}\) và \(\frac{-25}{124}\)
- Quy đồng mẫu số: \(\frac{-11}{56} = \frac{-11 \times 2}{56 \times 2} = \frac{-22}{112}\) và \(\frac{-25}{124} = \frac{-25 \times 1}{124 \times 1} = \frac{-25}{124}\)
- So sánh: \(\frac{-22}{112}\) và \(\frac{-25}{124}\)
- Vì \(\frac{-22}{112} = \frac{-11}{56}\) và \(\frac{-25}{124}\) có mẫu số lớn hơn, nên \(\frac{-11}{56} < \frac{-25}{124}\)

Vậy: \(\frac{11}{-56} < \frac{-25}{124}\)

d) \(\frac{-31}{36}\) và \(\frac{-31313131}{36363636}\)

- Quy đồng mẫu số: \(\frac{-31313131}{36363636}\) có thể rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 31313131, ta được \(\frac{-1}{1.161}\)
- So sánh: \(\frac{-31}{36}\) và \(\frac{-1}{1.161}\)
- Vì \(\frac{-31}{36} = -0.861\) và \(\frac{-1}{1.161} = -0.861\), nên hai số này bằng nhau.

Vậy: \(\frac{-31}{36} = \frac{-31313131}{36363636}\)

**Bài 4: Cho \(a, b \in \mathbb{Z}, b > 0\). So sánh hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{a + 2003}{b + 2003}\)**

- So sánh trực tiếp: \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{a + 2003}{b + 2003}\)
- Nếu \(a < b\), thì \(\frac{a}{b} < 1\) và \(\frac{a + 2003}{b + 2003} > 1\)
- Nếu \(a > b\), thì \(\frac{a}{b} > 1\) và \(\frac{a + 2003}{b + 2003} < 1\)

**Bài 5: Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:**

\[
\frac{1}{n+3}, \frac{2}{n+4}, \frac{3}{n+5}, \ldots, \frac{2001}{n+2003}, \frac{2002}{n+2004}
\]

- Để các phân số này tối giản, \(n\) phải là số nguyên tố lớn hơn 2004.

**Bài 6: Chứng minh rằng:**

Nếu \(\frac{a + 2003}{a - 2003} = \frac{b + 2004}{b - 2004}\) thì \(\frac{a}{2003} = \frac{b}{2004}\)

- Giả thiết: \(\frac{a + 2003}{a - 2003} = \frac{b + 2004}{b - 2004}\)
- Ta có: \((a + 2003)(b - 2004) = (b + 2004)(a - 2003)\)
- Giải phương trình: \(ab - 2004a + 2003b - 2003 \times 2004 = ab - 2003b + 2004a - 2004 \times 2003\)
- Rút gọn: \(2004a - 2003b = 2003 \times 2004 - 2004 \times 2003\)
- Kết quả: \(2004a = 2003b\)
- Suy ra: \(\frac{a}{2003} = \frac{b}{2004}\)

(Với mọi \(a, b \in \mathbb{Z}\) và \(a \neq 2003; b \neq 2004\)).