Để chứng minh đẳng thức \( \tan^2x - \sin^2x = \sin^4x(1 + \tan^2x) \), ta sẽ bắt đầu từ vế trái và biến đổi nó thành vế phải.

### Bước 1: Biểu diễn \( \tan^2x \) và \( \sin^2x \) theo \( \sin x \) và \( \cos x \)
Ta biết rằng:
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]
Do đó:
\[ \tan^2x = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} \]

### Bước 2: Thay vào vế trái
\[ \tan^2x - \sin^2x = \frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \sin^2x \]

### Bước 3: Quy đồng mẫu số
\[ \frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \sin^2x = \frac{\sin^2x - \sin^2x \cos^2x}{\cos^2x} \]

### Bước 4: Đưa \(\sin^2x\) ra ngoài
\[ \frac{\sin^2x - \sin^2x \cos^2x}{\cos^2x} = \frac{\sin^2x (1 - \cos^2x)}{\cos^2x} \]

### Bước 5: Sử dụng đẳng thức lượng giác \( 1 - \cos^2x = \sin^2x \)
\[ \frac{\sin^2x (1 - \cos^2x)}{\cos^2x} = \frac{\sin^2x \sin^2x}{\cos^2x} = \frac{\sin^4x}{\cos^2x} \]

### Bước 6: Nhận ra rằng \( \frac{\sin^4x}{\cos^2x} = \sin^4x \cdot \frac{1}{\cos^2x} \)
\[ \frac{\sin^4x}{\cos^2x} = \sin^4x \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \sin^4x \cdot (1 + \tan^2x) \]

### Bước 7: Kết luận
\[ \tan^2x - \sin^2x = \sin^4x (1 + \tan^2x) \]

Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức:
\[ \tan^2x - \sin^2x = \sin^4x (1 + \tan^2x) \]