Để tìm nghiệm nguyên \(x, y\) của hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
x^2 + 2xy + 2y^2 = 2y + 1 \\
3x^2 + 2xy - y^2 = 0
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

1. Từ phương trình thứ hai:
\[
3x^2 + 2xy - y^2 = 0
\]
Ta có thể viết lại như sau:
\[
3x^2 + 2xy = y^2
\]
\[
3x^2 + 2xy - y^2 = 0
\]
\[
y^2 = 3x^2 + 2xy
\]

2. Thay \(y^2\) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
\[
x^2 + 2xy + 2(3x^2 + 2xy) = 2y + 1
\]
\[
x^2 + 2xy + 6x^2 + 4xy = 2y + 1
\]
\[
7x^2 + 6xy = 2y + 1
\]

3. Chúng ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
7x^2 + 6xy = 2y + 1 \\
3x^2 + 2xy - y^2 = 0
\end{cases}
\]

4. Giả sử \(y = kx\), ta thay vào phương trình thứ hai:
\[
3x^2 + 2x(kx) - (kx)^2 = 0
\]
\[
3x^2 + 2kx^2 - k^2x^2 = 0
\]
\[
x^2(3 + 2k - k^2) = 0
\]
\[
3 + 2k - k^2 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai này:
\[
k^2 - 2k - 3 = 0
\]
\[
(k - 3)(k + 1) = 0
\]
\[
k = 3 \quad \text{hoặc} \quad k = -1
\]

5. Với \(k = 3\):
\[
y = 3x
\]
Thay vào phương trình thứ nhất:
\[
7x^2 + 6x(3x) = 2(3x) + 1
\]
\[
7x^2 + 18x^2 = 6x + 1
\]
\[
25x^2 = 6x + 1
\]
\[
25x^2 - 6x - 1 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai này:
\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 100}}{50} = \frac{6 \pm \sqrt{136}}{50}
\]
\[
x = \frac{6 \pm 2\sqrt{34}}{50} = \frac{3 \pm \sqrt{34}}{25}
\]
Vì \(x\) phải là số nguyên, nên không có nghiệm nguyên trong trường hợp này.

6. Với \(k = -1\):
\[
y = -x
\]
Thay vào phương trình thứ nhất:
\[
7x^2 + 6x(-x) = 2(-x) + 1
\]
\[
7x^2 - 6x^2 = -2x + 1
\]
\[
x^2 = -2x + 1
\]
\[
x^2 + 2x - 1 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai này:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2}
\]
\[
x = -1 \pm \sqrt{2}
\]
Vì \(x\) phải là số nguyên, nên không có nghiệm nguyên trong trường hợp này.

Kết luận: Hệ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên \(x, y\).