Để so sánh \( Q \) với \( 3^{12} - 1 \) và \( S \) với \( 5 \cdot 2^8 \), chúng ta cần tính toán giá trị của \( Q \) và \( S \).

### Tính \( Q \)

\( Q = 1 + 3^2 + 3^4 + 3^6 + \ldots + 3^{10} \)

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( r = 3^2 = 9 \). Số hạng cuối cùng là \( 3^{10} \).

Số hạng tổng quát của cấp số nhân này là \( a \cdot r^n \), với \( n \) là số thứ tự của số hạng.

Số hạng đầu tiên \( a = 1 \), số hạng thứ hai \( ar = 3^2 \), số hạng thứ ba \( ar^2 = 3^4 \), và số hạng cuối cùng \( ar^5 = 3^{10} \).

Tổng của một cấp số nhân được tính bằng công thức:
\[ Q = \frac{a(r^{n+1} - 1)}{r - 1} \]

Ở đây, \( a = 1 \), \( r = 9 \), và số hạng cuối cùng là \( 3^{10} \), tức là \( n = 5 \).

\[ Q = \frac{1 \cdot (9^{6} - 1)}{9 - 1} = \frac{9^6 - 1}{8} \]

Ta biết rằng \( 9 = 3^2 \), do đó:
\[ 9^6 = (3^2)^6 = 3^{12} \]

Vậy:
\[ Q = \frac{3^{12} - 1}{8} \]

So sánh với \( 3^{12} - 1 \):
\[ Q = \frac{3^{12} - 1}{8} < 3^{12} - 1 \]

### Tính \( S \)

\( S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{10} \)

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu tiên \( a = 1 \) và công bội \( r = 2 \). Số hạng cuối cùng là \( 2^{10} \).

Tổng của một cấp số nhân được tính bằng công thức:
\[ S = \frac{a(r^{n+1} - 1)}{r - 1} \]

Ở đây, \( a = 1 \), \( r = 2 \), và số hạng cuối cùng là \( 2^{10} \), tức là \( n = 10 \).

\[ S = \frac{1 \cdot (2^{11} - 1)}{2 - 1} = 2^{11} - 1 \]

So sánh với \( 5 \cdot 2^8 \):
\[ 2^{11} - 1 = 2048 - 1 = 2047 \]
\[ 5 \cdot 2^8 = 5 \cdot 256 = 1280 \]

Rõ ràng:
\[ 2047 > 1280 \]

Vậy:
\[ S > 5 \cdot 2^8 \]

Tóm lại:
1. \( Q < 3^{12} - 1 \)
2. \( S > 5 \cdot 2^8 \)