Để giải quyết các bài toán về phép chia đa thức một biến, chúng ta cần áp dụng các quy tắc và công thức liên quan đến phép chia đa thức. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng ví dụ trong hình:

### Ví dụ 1:
Số dư của phép chia \( (2x^3 - 4) \) cho \( (x - 1) \) là:
- Để tìm số dư, ta sử dụng định lý dư: \( P(a) = R \) khi \( P(x) \) chia cho \( (x - a) \).
- Ở đây, \( P(x) = 2x^3 - 4 \) và \( a = 1 \).
- Tính \( P(1) \):
\[
P(1) = 2(1)^3 - 4 = 2 - 4 = -2
\]
- Do đó, số dư là \( -2 \). Tuy nhiên, trong các đáp án không có lựa chọn này, có thể có lỗi trong đề bài hoặc đáp án.

### Ví dụ 2:
Thực hiện phép chia \( mx^2 + 2x - m - 2 \) cho \( x - 1 \):
- Ta sử dụng phép chia đa thức hoặc định lý dư.
- Để tìm thương, ta thực hiện phép chia:
\[
\frac{mx^2 + 2x - m - 2}{x - 1}
\]
- Thực hiện phép chia:
\[
\begin{array}{r|rr}
mx^2 & + 2x & - m - 2 \\
x - 1 & \\
\hline
mx & + (m + 2) & \\
\end{array}
\]
- Thương là \( mx + (m + 2) \).

### Ví dụ 3:
Cho đa thức \( P(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \) và \( Q(x) = x^2 - x - 2 \). Biết \( H(x) \cdot Q(x) = P(x) \). Khi đó \( H(1) = ? \):
- Tìm \( H(x) \):
\[
H(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
\]
- Thực hiện phép chia:
\[
\frac{x^4 - 5x^2 + 4}{x^2 - x - 2}
\]
- Sau khi chia, ta tìm được \( H(x) \).
- Tính \( H(1) \):
\[
H(1) = \frac{P(1)}{Q(1)}
\]
- Tính \( P(1) \) và \( Q(1) \):
\[
P(1) = 1^4 - 5 \cdot 1^2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0
\]
\[
Q(1) = 1^2 - 1 - 2 = 1 - 1 - 2 = -2
\]
- Do đó, \( H(1) = \frac{0}{-2} = 0 \).

### Ví dụ 4:
Với giá trị nào của \( m \) thì đa thức \( mx^3 + x^2 - 2m - 1 \) chia hết cho \( x - 2 \):
- Để đa thức chia hết cho \( x - 2 \), giá trị của đa thức tại \( x = 2 \) phải bằng 0.
- Tính \( P(2) \):
\[
P(2) = m(2)^3 + (2)^2 - 2m - 1 = 8m + 4 - 2m - 1 = 6m + 3
\]
- Đặt \( 6m + 3 = 0 \):
\[
6m + 3 = 0 \implies 6m = -3 \implies m = -\frac{1}{2}
\]
- Do đó, \( m = -\frac{1}{2} \).

Tóm lại, các đáp án cho các ví dụ là:
- Ví dụ 1: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn.
- Ví dụ 2: \( mx + 2 + m \).
- Ví dụ 3: \( H(1) = 0 \).
- Ví dụ 4: \( m = -\frac{1}{2} \).