Cho a,b > 1 là 2 số nguyên dương và (a,b) = 1. Chứng minh rằng a^m + b^m chia hết cho a^n + b^n thì m chia hết cho n

Để chứng minh bài toán tổng quát: Cho \(a, b > 1\) là hai số nguyên dương và \((a, b) = 1\). Chứng minh rằng \(a^m + b^m\) chia hết cho \(a^n + b^n\) thì \(m\) chia hết cho \(n\).

### Lời giải:

Giả sử \(m\) không chia hết cho \(n\), tức là \(m = nq + r\) với \(0 < r < n\). Ta có:

\[a^m + b^m = a^{nq + r} + b^{nq + r} = (a^n)^q \cdot a^r + (b^n)^q \cdot b^r\]

Do \(a^m + b^m\) chia hết cho \(a^n + b^n\), nên:

\[a^n + b^n \mid a^m + b^m\]

Tức là:

\[a^n + b^n \mid (a^n)^q \cdot a^r + (b^n)^q \cdot b^r\]

Ta có thể viết lại:

\[a^n + b^n \mid a^{nq + r} + b^{nq + r} - (a^n + b^n) \cdot k\]

với \(k\) là một số nguyên dương.

Bây giờ, ta xét \(a^n + b^n\) chia hết cho \(a^{nq + r} + b^{nq + r}\):

\[a^n + b^n \mid a^{nq + r} + b^{nq + r} - (a^n + b^n) \cdot k\]

Nếu \(q - 1 > 0\) thì \(m > 2n\), khi đó:

\[a^n + b^n \mid a^{nq + r} + b^{nq + r} - (a^n + b^n) \cdot k\]

\[a^n + b^n \mid a^{nq + r - n} + b^{nq + r - n}\]

Lặp lại phép biến đổi trên sau một số hữu hạn bước, ta suy ra:

\[a^n + b^n \mid a^{nq + r - kn} + b^{nq + r - kn}\]

với \(k \leq q\). Khi \(k = q\), ta được:

\[a^n + b^n \mid a^r + b^r\]

Điều này mâu thuẫn vì \(0 < |a^r + b^r| < a^n + b^n\).

Vậy điều giả sử là sai. Bài toán được chứng minh.

### Kết luận:
Nếu \(a^m + b^m\) chia hết cho \(a^n + b^n\) thì \(m\) phải chia hết cho \(n\).