Để giải hệ phương trình này bằng cách đặt ẩn phụ, ta có thể làm như sau:

Đặt \( u = 2x - y \) và \( v = 2x + y \).

Hệ phương trình ban đầu trở thành:
\[
\begin{cases}
\frac{3}{u} + \frac{5}{v} = 2 \\
\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{2}{15}
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình thứ hai:
\[
\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{2}{15}
\]
Ta có thể viết lại thành:
\[
\frac{u + v}{uv} = \frac{2}{15}
\]
Suy ra:
\[
15(u + v) = 2uv \quad \Rightarrow \quad 2uv - 15(u + v) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2uv = 15(u + v)
\]

2. Từ phương trình thứ nhất:
\[
\frac{3}{u} + \frac{5}{v} = 2
\]
Ta có thể viết lại thành:
\[
\frac{3v + 5u}{uv} = 2
\]
Suy ra:
\[
3v + 5u = 2uv
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2uv = 15(u + v) \\
3v + 5u = 2uv
\end{cases}
\]

Thay \( 2uv = 15(u + v) \) vào phương trình thứ hai:
\[
3v + 5u = 15(u + v)
\]
Suy ra:
\[
3v + 5u = 15u + 15v \quad \Rightarrow \quad 3v + 5u - 15u - 15v = 0 \quad \Rightarrow \quad -12u - 12v = 0 \quad \Rightarrow \quad u + v = 0
\]
Suy ra:
\[
v = -u
\]

Thay \( v = -u \) vào phương trình \( 2uv = 15(u + v) \):
\[
2u(-u) = 15(u - u) \quad \Rightarrow \quad -2u^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad u = 0
\]

Nếu \( u = 0 \) thì \( v = 0 \), điều này không thỏa mãn vì sẽ dẫn đến mẫu số bằng 0 trong các phương trình ban đầu. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước giải hoặc xem xét lại hệ phương trình ban đầu.

Tuy nhiên, nếu không có sai sót trong các bước giải, hệ phương trình này có thể không có nghiệm thực.