Giải các bất phương trình sau

Để giải các bất phương trình này, chúng ta sẽ thực hiện các bước biến đổi tương đương để đưa về dạng đơn giản hơn.

13) \((x+2)^2 - 4(x-3) \geq (x+1)(x-1)\)

Bước 1: Khai triển các biểu thức:
\[
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
\]
\[
4(x-3) = 4x - 12
\]
\[
(x+1)(x-1) = x^2 - 1
\]

Bước 2: Thay vào bất phương trình:
\[
x^2 + 4x + 4 - 4x + 12 \geq x^2 - 1
\]

Bước 3: Đơn giản hóa:
\[
x^2 + 16 \geq x^2 - 1
\]

Bước 4: Trừ \(x^2\) cả hai vế:
\[
16 \geq -1
\]

Bất phương trình này luôn đúng với mọi \(x\).

14) \((4x-1)(x+2) - 7x > (2x-1)(2x+1)\)

Bước 1: Khai triển các biểu thức:
\[
(4x-1)(x+2) = 4x^2 + 8x - x - 2 = 4x^2 + 7x - 2
\]
\[
(2x-1)(2x+1) = 4x^2 - 1
\]

Bước 2: Thay vào bất phương trình:
\[
4x^2 + 7x - 2 - 7x > 4x^2 - 1
\]

Bước 3: Đơn giản hóa:
\[
4x^2 - 2 > 4x^2 - 1
\]

Bước 4: Trừ \(4x^2\) cả hai vế:
\[
-2 > -1
\]

Bất phương trình này không bao giờ đúng với mọi \(x\).

15) \((4x-1)^2 - 2 \geq 16(x-1)(x+1) + 2x\)

Bước 1: Khai triển các biểu thức:
\[
(4x-1)^2 = 16x^2 - 8x + 1
\]
\[
16(x-1)(x+1) = 16(x^2 - 1) = 16x^2 - 16
\]

Bước 2: Thay vào bất phương trình:
\[
16x^2 - 8x + 1 - 2 \geq 16x^2 - 16 + 2x
\]

Bước 3: Đơn giản hóa:
\[
16x^2 - 8x - 1 \geq 16x^2 - 16 + 2x
\]

Bước 4: Trừ \(16x^2\) cả hai vế:
\[
-8x - 1 \geq -16 + 2x
\]

Bước 5: Chuyển vế và đơn giản hóa:
\[
-8x - 2x \geq -16 + 1
\]
\[
-10x \geq -15
\]

Bước 6: Chia cả hai vế cho -10 (đổi chiều bất phương trình):
\[
x \leq \frac{3}{2}
\]

16) \((x-4)^2 - (x+5)(x-5) \geq -8x + 41\)

Bước 1: Khai triển các biểu thức:
\[
(x-4)^2 = x^2 - 8x + 16
\]
\[
(x+5)(x-5) = x^2 - 25
\]

Bước 2: Thay vào bất phương trình:
\[
x^2 - 8x + 16 - (x^2 - 25) \geq -8x + 41
\]

Bước 3: Đơn giản hóa:
\[
x^2 - 8x + 16 - x^2 + 25 \geq -8x + 41
\]
\[
-8x + 41 \geq -8x + 41
\]

Bất phương trình này luôn đúng với mọi \(x\).

Tóm lại:
13) Luôn đúng với mọi \(x\).
14) Không bao giờ đúng với mọi \(x\).
15) \(x \leq \frac{3}{2}\).
16) Luôn đúng với mọi \(x\).