Để chứng minh rằng \(\frac{MA}{MD} = \frac{NB}{NC}\) trong hình thang ABCD với \(AB \parallel CD\) và \(MN \parallel AB\), ta có thể sử dụng tính chất của các đường thẳng song song và định lý Thales.

1. **Xét tam giác \(ADC\):**
- Vì \(MN \parallel AB \parallel CD\), nên \(MN \parallel CD\).
- Theo định lý Thales, trong tam giác \(ADC\) với \(MN \parallel CD\), ta có:
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{AN}{NC}
\]

2. **Xét tam giác \(ABC\):**
- Vì \(MN \parallel AB\), nên \(MN \parallel AB\).
- Theo định lý Thales, trong tam giác \(ABC\) với \(MN \parallel AB\), ta có:
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{BN}{NC}
\]

3. **Kết hợp hai kết quả:**
- Từ hai kết quả trên, ta có:
\[
\frac{AM}{MD} = \frac{AN}{NC} = \frac{BN}{NC}
\]

4. **Kết luận:**
- Do đó, ta có:
\[
\frac{MA}{MD} = \frac{NB}{NC}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\frac{MA}{MD} = \frac{NB}{NC}\).