Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\). Lấy điểm \(E\) trên \(AB\), điểm \(F\) trên \(AC\) sao cho \(AE = AF\).

a. Chứng minh \(BF = CE\) và tam giác \(BEC =\) tam giác \(CFB\).

**Chứng minh:**

- Xét hai tam giác \(AEB\) và \(AFC\):
- \(AE = AF\) (giả thiết)
- \(AB = AC\) (giả thiết)
- \(\angle BAE = \angle CAF\) (góc chung)

Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\triangle AEB \cong \triangle AFC
\]
Suy ra:
\[
BE = CF \quad \text{(các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)}
\]

- Xét hai tam giác \(BEC\) và \(CFB\):
- \(BE = CF\) (đã chứng minh ở trên)
- \(BC\) là cạnh chung
- \(\angle EBC = \angle FCB\) (góc đối đỉnh)

Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\triangle BEC \cong \triangle CFB
\]

b. Biết \(BF\) cắt \(CE\) tại \(I\). Cho biết \(IE = IF\). Chứng minh tam giác \(IBE =\) tam giác \(ICF\).

**Chứng minh:**

- Xét hai tam giác \(IBE\) và \(ICF\):
- \(IE = IF\) (giả thiết)
- \(BE = CF\) (đã chứng minh ở phần a)
- \(\angle BEI = \angle CFI\) (góc đối đỉnh)

Do đó, theo định lý cạnh-góc-cạnh (SAS), ta có:
\[
\triangle IBE \cong \triangle ICF
\]

Vậy, ta đã chứng minh được:
- \(BF = CE\) và tam giác \(BEC\) bằng tam giác \(CFB\).
- Tam giác \(IBE\) bằng tam giác \(ICF\).