Để rút gọn các đa thức đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các phép nhân và phép cộng, sau đó kết hợp các hạng tử giống nhau.

### a) \((x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1)\)

Trước tiên, ta nhân hai đa thức đầu tiên:
\[
(x+1)(x-1) = x^2 - 1
\]

Tiếp theo, ta nhân kết quả với \(x^2 + 1\):
\[
(x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 + x^2 - x^2 - 1 = x^4 - 1
\]

Cuối cùng, ta nhân kết quả với \(x^4 + 1\):
\[
(x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 + x^4 - x^4 - 1 = x^8 - 1
\]

Vậy, kết quả rút gọn của biểu thức a) là:
\[
x^8 - 1
\]

### b) \((x-y+z)^2 + (z-y)^2 + 2(x-y+z)(y-z)\)

Trước tiên, ta khai triển các bình phương và nhân các đa thức:
\[
(x-y+z)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 2xz - 2yz + z^2
\]
\[
(z-y)^2 = z^2 - 2yz + y^2
\]
\[
2(x-y+z)(y-z) = 2[(x-y+z)(y-z)] = 2[xy - xz - y^2 + yz + zy - z^2] = 2xy - 2xz - 2y^2 + 2yz
\]

Bây giờ, ta cộng tất cả các hạng tử lại:
\[
(x^2 - 2xy + y^2 + 2xz - 2yz + z^2) + (z^2 - 2yz + y^2) + (2xy - 2xz - 2y^2 + 2yz)
\]

Kết hợp các hạng tử giống nhau:
\[
x^2 - 2xy + 2xy + y^2 + y^2 - 2y^2 + 2xz - 2xz - 2yz - 2yz + 2yz + z^2 + z^2
\]

Các hạng tử tương tự triệt tiêu lẫn nhau:
\[
x^2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2z^2
\]

Vậy, kết quả rút gọn của biểu thức b) là:
\[
x^2 + 2z^2
\]