Để giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### Hệ phương trình thứ nhất:
\[
\begin{cases}
\frac{x - y - 1}{2} + \frac{x - 2y}{4} = 1 \\
\frac{x + 2y}{3} - \frac{y - x - 3}{6} = 2
\end{cases}
\]

#### Bước 1: Quy đồng mẫu số và đơn giản hóa phương trình thứ nhất
\[
\frac{x - y - 1}{2} + \frac{x - 2y}{4} = 1
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{2(x - y - 1) + (x - 2y)}{4} = 1
\]
\[
\frac{2x - 2y - 2 + x - 2y}{4} = 1
\]
\[
\frac{3x - 4y - 2}{4} = 1
\]
Nhân cả hai vế với 4:
\[
3x - 4y - 2 = 4
\]
\[
3x - 4y = 6 \quad \text{(1)}
\]

#### Bước 2: Quy đồng mẫu số và đơn giản hóa phương trình thứ hai
\[
\frac{x + 2y}{3} - \frac{y - x - 3}{6} = 2
\]
Quy đồng mẫu số:
\[
\frac{2(x + 2y) - (y - x - 3)}{6} = 2
\]
\[
\frac{2x + 4y - y + x + 3}{6} = 2
\]
\[
\frac{3x + 3y + 3}{6} = 2
\]
Nhân cả hai vế với 6:
\[
3x + 3y + 3 = 12
\]
\[
3x + 3y = 9
\]
\[
x + y = 3 \quad \text{(2)}
\]

#### Bước 3: Giải hệ phương trình (1) và (2)
\[
\begin{cases}
3x - 4y = 6 \\
x + y = 3
\end{cases}
\]

Nhân phương trình (2) với 4:
\[
4(x + y) = 4 \cdot 3
\]
\[
4x + 4y = 12 \quad \text{(3)}
\]

Cộng phương trình (1) và (3):
\[
3x - 4y + 4x + 4y = 6 + 12
\]
\[
7x = 18
\]
\[
x = \frac{18}{7}
\]

Thay \( x = \frac{18}{7} \) vào phương trình (2):
\[
\frac{18}{7} + y = 3
\]
\[
y = 3 - \frac{18}{7}
\]
\[
y = \frac{21}{7} - \frac{18}{7}
\]
\[
y = \frac{3}{7}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình thứ nhất là:
\[
(x, y) = \left( \frac{18}{7}, \frac{3}{7} \right)
\]

### Hệ phương trình thứ hai:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x - y} + \frac{1}{2x + y} = 2 \\
\frac{3}{x - y} - \frac{2}{2x + y} = -2
\end{cases}
\]

#### Bước 1: Đặt ẩn phụ
Đặt \( a = \frac{1}{x - y} \) và \( b = \frac{1}{2x + y} \), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
a + b = 2 \\
3a - 2b = -2
\end{cases}
\]

#### Bước 2: Giải hệ phương trình mới
Nhân phương trình thứ nhất với 2:
\[
2a + 2b = 4 \quad \text{(4)}
\]

Cộng phương trình (4) và phương trình thứ hai:
\[
2a + 2b + 3a - 2b = 4 - 2
\]
\[
5a = 2
\]
\[
a = \frac{2}{5}
\]

Thay \( a = \frac{2}{5} \) vào phương trình \( a + b = 2 \):
\[
\frac{2}{5} + b = 2
\]
\[
b = 2 - \frac{2}{5}
\]
\[
b = \frac{10}{5} - \frac{2}{5}
\]
\[
b = \frac{8}{5}
\]

#### Bước 3: Tìm \( x \) và \( y \)
Ta có:
\[
\frac{1}{x - y} = \frac{2}{5} \implies x - y = \frac{5}{2}
\]
\[
\frac{1}{2x + y} = \frac{8}{5} \implies 2x + y = \frac{5}{8}
\]

Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x - y = \frac{5}{2} \\
2x + y = \frac{5}{8}
\end{cases}
\]

Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[
4x + 2y = \frac{5}{4} \quad \text{(5)}
\]

Cộng phương trình (5) và phương trình thứ nhất:
\[
4x + 2y + x - y = \frac{5}{4} + \frac{5}{2}
\]
\[
5x + y = \frac{5}{4} + \frac{10}{4}
\]
\[
5x + y = \frac{15}{4}
\]
\[
x = \frac{15}{20}
\]
\[
x = \frac{3}{4}
\]

Thay \( x = \frac{3}{4} \) vào phương trình \( x - y = \frac{5}{2} \):
\[
\frac{3}{4} - y = \frac{5}{2}
\]
\[
y = \frac{3}{4} - \frac{5}{2}
\]
\[
y = \frac{3}{4} - \frac{10}{4}
\]
\[
y = -\frac{7}{4}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình thứ hai là:
\[
(x, y) = \left( \frac{3}{4}, -\frac{7}{4} \right)
\]