Cho tam giác \( MNP \) vuông tại \( M \), biết \( MN = 6 \) cm, \( NP = 10 \) cm. Kẻ đường cao \( MH \).

a) Tính \( MP \) và \( MH \).

- Để tính \( MP \), ta sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông \( MNP \):

\[
MP^2 = NP^2 - MN^2
\]

\[
MP^2 = 10^2 - 6^2
\]

\[
MP^2 = 100 - 36
\]

\[
MP^2 = 64
\]

\[
MP = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}
\]

- Để tính \( MH \), ta sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông:

\[
MH = \frac{MN \cdot MP}{NP}
\]

\[
MH = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

Vậy \( MP = 8 \) cm và \( MH = 4.8 \) cm.

b) Kẻ \( HI \) vuông góc \( MN \), \( HK \) vuông góc \( MP \) và tính \( MI \cdot MN + MK \cdot MP \).

- Do \( HI \) vuông góc với \( MN \) và \( HK \) vuông góc với \( MP \), \( H \) là trực tâm của tam giác \( MNP \). Trong tam giác vuông \( MNP \), \( H \) là chân đường cao từ \( M \) xuống \( NP \).

- Ta có:

\[
MI = MH \cos(\angle MHI)
\]

\[
MK = MH \cos(\angle MHK)
\]

Vì \( H \) là chân đường cao từ \( M \) xuống \( NP \), \( H \) chia \( NP \) thành hai đoạn \( NH \) và \( HP \). Ta có:

\[
NH = \frac{MN^2}{NP} = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3.6 \text{ cm}
\]

\[
HP = \frac{MP^2}{NP} = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6.4 \text{ cm}
\]

- Do đó:

\[
MI = MH \cdot \frac{MN}{NP} = 4.8 \cdot \frac{6}{10} = 4.8 \cdot 0.6 = 2.88 \text{ cm}
\]

\[
MK = MH \cdot \frac{MP}{NP} = 4.8 \cdot \frac{8}{10} = 4.8 \cdot 0.8 = 3.84 \text{ cm}
\]

- Cuối cùng, ta tính:

\[
MI \cdot MN + MK \cdot MP = 2.88 \cdot 6 + 3.84 \cdot 8
\]

\[
= 17.28 + 30.72
\]

\[
= 48 \text{ cm}^2
\]

Vậy \( MI \cdot MN + MK \cdot MP = 48 \text{ cm}^2 \).