Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

### a. Diện tích hình thang AMCD

Hình thang AMCD có hai đáy là AM và DC, chiều cao là BC.

- AM là trung điểm của AB nên AM = AB/2 = DC/2 = 20/2 = 10 cm.
- DC = 20 cm.
- Chiều cao BC = 15 cm.

Diện tích hình thang AMCD được tính theo công thức:
\[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \times (AM + DC) \times BC \]

Thay các giá trị vào:
\[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \times (10 + 20) \times 15 = \frac{1}{2} \times 30 \times 15 = 225 \, \text{cm}^2 \]

### b. Tỉ số của diện tích tam giác BDC và diện tích hình thang AMCD

Diện tích tam giác BDC được tính theo công thức:
\[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \times DC \times BC \]

Thay các giá trị vào:
\[ S_{BDC} = \frac{1}{2} \times 20 \times 15 = 150 \, \text{cm}^2 \]

Tỉ số diện tích tam giác BDC và diện tích hình thang AMCD là:
\[ \frac{S_{BDC}}{S_{AMCD}} = \frac{150}{225} = \frac{2}{3} \]

### c. Diện tích tam giác DOC

Điểm O là giao điểm của DB và MC. Ta cần xác định vị trí của điểm O để tính diện tích tam giác DOC.

Do M là trung điểm của AB, nên M có tọa độ (10, 0) trong hệ tọa độ với A(0, 0), B(20, 0), D(0, 15), C(20, 15).

Phương trình đường thẳng DB:
- D(0, 15) và B(20, 0)
- Hệ số góc của DB: \( k = \frac{0 - 15}{20 - 0} = -\frac{3}{4} \)
- Phương trình DB: \( y = -\frac{3}{4}x + 15 \)

Phương trình đường thẳng MC:
- M(10, 0) và C(20, 15)
- Hệ số góc của MC: \( k = \frac{15 - 0}{20 - 10} = \frac{3}{2} \)
- Phương trình MC: \( y = \frac{3}{2}(x - 10) \)

Giao điểm O của DB và MC:
\[ -\frac{3}{4}x + 15 = \frac{3}{2}(x - 10) \]
\[ -\frac{3}{4}x + 15 = \frac{3}{2}x - 15 \]
\[ 15 + 15 = \frac{3}{2}x + \frac{3}{4}x \]
\[ 30 = \frac{9}{4}x \]
\[ x = \frac{30 \times 4}{9} = \frac{120}{9} = \frac{40}{3} \]

Thay x vào phương trình DB:
\[ y = -\frac{3}{4} \times \frac{40}{3} + 15 = -10 + 15 = 5 \]

Vậy O có tọa độ \( \left(\frac{40}{3}, 5\right) \).

Diện tích tam giác DOC:
\[ S_{DOC} = \frac{1}{2} \times \text{độ dài đáy} \times \text{chiều cao} \]
Đáy DC = 20 cm, chiều cao từ O đến DC là 5 cm.

\[ S_{DOC} = \frac{1}{2} \times 20 \times 5 = 50 \, \text{cm}^2 \]

### Kết quả:
a. Diện tích hình thang AMCD: \( 225 \, \text{cm}^2 \)

b. Tỉ số diện tích tam giác BDC và diện tích hình thang AMCD: \( \frac{2}{3} \)

c. Diện tích tam giác DOC: \( 50 \, \text{cm}^2 \)