Để giải bài toán này, ta gọi thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất là \( x \) giờ và của người thứ hai là \( x + 1 \) giờ.

Khi đó, năng suất làm việc của người thứ nhất là \( \frac{1}{x} \) công việc/giờ và của người thứ hai là \( \frac{1}{x+1} \) công việc/giờ.

Khi hai người cùng làm việc, năng suất làm việc của họ là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \).

Theo đề bài, hai người làm chung một công việc thì trong \( \frac{6}{5} \) giờ thì xong, tức là năng suất làm việc của họ là \( \frac{5}{6} \) công việc/giờ.

Ta có phương trình:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{5}{6} \]

Giải phương trình này:
\[ \frac{x + 1 + x}{x(x + 1)} = \frac{5}{6} \]
\[ \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{5}{6} \]
\[ 6(2x + 1) = 5(x^2 + x) \]
\[ 12x + 6 = 5x^2 + 5x \]
\[ 5x^2 - 7x - 6 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
với \( a = 5 \), \( b = -7 \), và \( c = -6 \):
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 120}}{10} \]
\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{10} \]
\[ x = \frac{7 \pm 13}{10} \]

Ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{20}{10} = 2 \]
\[ x = \frac{-6}{10} = -0.6 \] (loại vì thời gian không thể âm)

Vậy thời gian hoàn thành công việc của người thứ nhất là 2 giờ và của người thứ hai là 3 giờ.