Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x, y)\) thỏa mãn \( x^3 + 2y^2 = 3 \).

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
x + my = 1 \quad (1) \\
(m + 2)x - y = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Đầu tiên, ta giải hệ phương trình này để tìm \( x \) và \( y \).

Từ phương trình (1):
\[ x = 1 - my \]

Thay vào phương trình (2):
\[ (m + 2)(1 - my) - y = 1 \]
\[ (m + 2) - m(m + 2)y - y = 1 \]
\[ (m + 2) - m^2y - 2my - y = 1 \]
\[ (m + 2) - y(m^2 + 2m + 1) = 1 \]
\[ (m + 2) - y(m + 1)^2 = 1 \]
\[ y(m + 1)^2 = m + 1 \]
\[ y = \frac{m + 1}{(m + 1)^2} \]
\[ y = \frac{1}{m + 1} \]

Thay \( y \) vào phương trình (1):
\[ x = 1 - m \cdot \frac{1}{m + 1} \]
\[ x = 1 - \frac{m}{m + 1} \]
\[ x = \frac{m + 1 - m}{m + 1} \]
\[ x = \frac{1}{m + 1} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = \frac{1}{m + 1}, \quad y = \frac{1}{m + 1} \]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x, y)\) thỏa mãn \( x^3 + 2y^2 = 3 \), ta thay \( x \) và \( y \) vào phương trình này:
\[ \left(\frac{1}{m + 1}\right)^3 + 2\left(\frac{1}{m + 1}\right)^2 = 3 \]
\[ \frac{1}{(m + 1)^3} + \frac{2}{(m + 1)^2} = 3 \]

Đặt \( t = \frac{1}{m + 1} \), ta có:
\[ t^3 + 2t^2 = 3 \]

Giải phương trình này:
\[ t^3 + 2t^2 - 3 = 0 \]

Ta thử nghiệm các giá trị của \( t \) để tìm nghiệm của phương trình này. Sau khi thử nghiệm, ta thấy \( t = 1 \) là nghiệm của phương trình:
\[ 1^3 + 2 \cdot 1^2 - 3 = 0 \]

Vậy \( t = 1 \), tức là:
\[ \frac{1}{m + 1} = 1 \]
\[ m + 1 = 1 \]
\[ m = 0 \]

Vậy giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \( m = 0 \).