Để chứng minh trung điểm của đoạn thẳng \( DE \) thuộc một đường cố định khi \( D \) và \( E \) thay đổi trên \( AB \) và \( AC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

Giả sử \( M \) là trung điểm của \( DE \). Ta cần chứng minh rằng \( M \) thuộc một đường cố định.

1. **Đặt các tỉ số:**
Giả sử \( DA/DB = k \) và \( EC/EA = k \). Điều này có nghĩa là \( D \) và \( E \) chia các đoạn \( AB \) và \( AC \) theo cùng một tỉ lệ \( k \).

2. **Sử dụng tọa độ:**
Đặt \( A = (0, 0) \), \( B = (c, 0) \), và \( C = (a, b) \). Khi đó, tọa độ của \( D \) và \( E \) có thể được biểu diễn như sau:
- \( D \) chia \( AB \) theo tỉ lệ \( k \), nên tọa độ của \( D \) là \( D = \left( \frac{k}{1+k} c, 0 \right) \).
- \( E \) chia \( AC \) theo tỉ lệ \( k \), nên tọa độ của \( E \) là \( E = \left( \frac{1}{1+k} a, \frac{k}{1+k} b \right) \).

3. **Tọa độ của trung điểm \( M \):**
Trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( DE \) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ \( D \) và \( E \):
\[
M = \left( \frac{\frac{k}{1+k} c + \frac{1}{1+k} a}{2}, \frac{0 + \frac{k}{1+k} b}{2} \right)
\]
\[
M = \left( \frac{k c + a}{2(1+k)}, \frac{k b}{2(1+k)} \right)
\]

4. **Phân tích tọa độ của \( M \):**
Ta nhận thấy rằng tọa độ của \( M \) có dạng:
\[
M = \left( \frac{k c + a}{2(1+k)}, \frac{k b}{2(1+k)} \right)
\]
Để chứng minh rằng \( M \) thuộc một đường cố định, ta cần tìm một phương trình đường thẳng mà \( M \) luôn thỏa mãn.

5. **Xét phương trình đường thẳng:**
Ta nhận thấy rằng tọa độ \( M \) có thể được viết lại dưới dạng:
\[
M = \left( \frac{a + k c}{2(1+k)}, \frac{k b}{2(1+k)} \right)
\]
Đặt \( x = \frac{a + k c}{2(1+k)} \) và \( y = \frac{k b}{2(1+k)} \). Khi đó, ta có:
\[
y = \frac{b}{a + k c} \cdot x
\]
Điều này cho thấy rằng \( y \) là một hàm tuyến tính của \( x \), tức là \( M \) luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Do đó, trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( DE \) luôn thuộc một đường thẳng cố định khi \( D \) và \( E \) thay đổi trên \( AB \) và \( AC \).