Để tìm hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(ab = 51840\) và \(\text{BCNN}(a, b) = 1440\), ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa Ước chung lớn nhất (ƯCLN) và Bội chung nhỏ nhất (BCNN):

\[
\text{BCNN}(a, b) \times \text{ƯCLN}(a, b) = a \times b
\]

Từ đó, ta có:

\[
1440 \times \text{ƯCLN}(a, b) = 51840
\]

Suy ra:

\[
\text{ƯCLN}(a, b) = \frac{51840}{1440} = 36
\]

Gọi \(\text{ƯCLN}(a, b) = d = 36\). Khi đó, ta có thể viết \(a\) và \(b\) dưới dạng:

\[
a = 36m \quad \text{và} \quad b = 36n
\]

với \(m\) và \(n\) là hai số nguyên tố cùng nhau (tức là \(\text{ƯCLN}(m, n) = 1\)).

Thay vào phương trình \(ab = 51840\):

\[
(36m)(36n) = 51840
\]

\[
1296mn = 51840
\]

\[
mn = \frac{51840}{1296} = 40
\]

Bây giờ, ta cần tìm các cặp số \(m\) và \(n\) sao cho \(mn = 40\) và \(\text{ƯCLN}(m, n) = 1\). Các cặp số thỏa mãn điều kiện này là:

\[
(m, n) = (1, 40), (40, 1), (5, 8), (8, 5)
\]

Từ đó, ta có các cặp số \(a\) và \(b\) tương ứng:

1. \(a = 36 \times 1 = 36\) và \(b = 36 \times 40 = 1440\)
2. \(a = 36 \times 40 = 1440\) và \(b = 36 \times 1 = 36\)
3. \(a = 36 \times 5 = 180\) và \(b = 36 \times 8 = 288\)
4. \(a = 36 \times 8 = 288\) và \(b = 36 \times 5 = 180\)

Vậy, các cặp số \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện đề bài là:

\[
(a, b) = (36, 1440), (1440, 36), (180, 288), (288, 180)
\]