Chúng ta sẽ lần lượt giải các bài toán theo từng phần.

### Bài 3: Rút gọn biểu thức

**a.** \( A = (x - 1)^3 - (x + 1)^3 \)

Sử dụng công thức hiệu lập phương:
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

Ở đây, \( a = x - 1 \) và \( b = x + 1 \):
\[ A = (x - 1 - (x + 1))((x - 1)^2 + (x - 1)(x + 1) + (x + 1)^2) \]
\[ A = (-2)(x^2 - 2x + 1 + x^2 - 1 + x^2 + 2x + 1) \]
\[ A = (-2)(3x^2 + 1) \]
\[ A = -6x^2 - 2 \]

**b.** \( B = (yx)^3 + (x - y)^3 \)

Sử dụng công thức tổng lập phương:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Ở đây, \( a = yx \) và \( b = x - y \):
\[ B = (yx + (x - y))((yx)^2 - (yx)(x - y) + (x - y)^2) \]
\[ B = (yx + x - y)(y^2x^2 - yx(x - y) + (x - y)^2) \]
\[ B = (yx + x - y)(y^2x^2 - yx^2 + y^2x + x^2 - 2xy + y^2) \]

**c.** \( C = (x - y)^3 + 3xy(x - y) \)

Sử dụng công thức:
\[ a^3 + 3ab(a + b) = (a + b)^3 - b^3 \]

Ở đây, \( a = x - y \) và \( b = 0 \):
\[ C = (x - y)^3 + 3xy(x - y) \]
\[ C = (x - y)((x - y)^2 + 3xy) \]
\[ C = (x - y)(x^2 - 2xy + y^2 + 3xy) \]
\[ C = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \]

**d.** \( D = (x + 1)^3 + (x - 3) - (2x^2 + 15)(x - 3) \)

Sử dụng công thức:
\[ (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \]

\[ D = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + x - 3 - (2x^3 - 6x^2 + 15x - 45) \]
\[ D = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + x - 3 - 2x^3 + 6x^2 - 15x + 45 \]
\[ D = -x^3 + 9x^2 - 11x + 43 \]

### Bài 4: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

**a.** \( A = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \) khi \( x = 8 \)

\[ A = 8^3 + 6 \cdot 8^2 + 12 \cdot 8 + 8 \]
\[ A = 512 + 384 + 96 + 8 \]
\[ A = 1000 \]

**b.** \( B = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \) khi \( x = 101 \)

\[ B = 101^3 - 3 \cdot 101^2 + 3 \cdot 101 - 1 \]
\[ B = 1030301 - 30603 + 303 - 1 \]
\[ B = 1000000 \]

**c.** \( C = \left(\frac{x}{2} - y\right)^3 - 6\left(y - \frac{x}{2}\right)^2 - 12\left(y - \frac{x}{2}\right) - 8 \) khi \( x = 4 \) và \( y = 2 \)

\[ C = \left(\frac{4}{2} - 2\right)^3 - 6\left(2 - \frac{4}{2}\right)^2 - 12\left(2 - \frac{4}{2}\right) - 8 \]
\[ C = (2 - 2)^3 - 6(2 - 2)^2 - 12(2 - 2) - 8 \]
\[ C = 0 - 0 - 0 - 8 \]
\[ C = -8 \]

**d.** \( D = 2x^3 + y^3 - 3(x^2 + y^2) \) khi \( x + y = 1 \)

\[ D = 2x^3 + (1 - x)^3 - 3(x^2 + (1 - x)^2) \]
\[ D = 2x^3 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3) - 3(x^2 + 1 - 2x + x^2) \]
\[ D = 2x^3 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 - 3(2x^2 - 2x + 1) \]
\[ D = x^3 + 3x^2 - 3x + 1 - 6x^2 + 6x - 3 \]
\[ D = x^3 - 3x^2 + 3x - 2 \]

### Bài 5: Tìm \( x \)

**a.** \( x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = 0 \)

Sử dụng phương pháp thử nghiệm nghiệm:
\[ x = -1 \]
\[ (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 + 3 - 3 + 2 = 1 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -1 \).

**b.** \( x^3 - 12x^2 + 48x - 75 = 0 \)

Sử dụng phương pháp thử nghiệm nghiệm:
\[ x = 3 \]
\[ 3^3 - 12 \cdot 3^2 + 48 \cdot 3 - 75 = 27 - 108 + 144 - 75 = -12 \]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 3 \).